Gia sư môn Toán

»

Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN

 BÀI 5. ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN

I. TÓM TĂT LÝ THUYẾT

Tìm GTLN của một tích: A.B

    + Kiểm tra A, B > 0: A + B = const

    + Tích A.B đạt GTLN khi và chỉ khi A = B

Tìm GTNN của một tổng: A + B

    + Kiểm tra A, B > 0: A.B = const

    + Tổng A + B đạt GTNN khi và chỉ khi A = B

Sử dụng điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT thông dụng, BĐT Cô-si, Bu-nhi-cốp-ski,..

Lưu ý:  GTLN, GTNN phải đạt được khi có dấu “=” xảy ra

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau

a. y = (x + 3)(5 - x)          (-3 £ x £ 5)

b. y = (x + 1)(2 - x)          (-1 £ x £ 2)

c. y = (2x - 3)(6 - 2x)          (3/2 £ x £ 3)

Bài 2. Tìm GTNN của các hàm số sau

a. y = 2x + 1/2x                   ( x > 0)

b. y = x + 3 + 1/(x + 3)         (x > -3)

c. y = 2x  +36/(2x - 4)          ( x > 2)

Bài 3. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 4.  Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 5.

a. Tìm GTLN của biểu thức

b. Tìm GTNN của hàm số:  với 0 < x < 1.

c. Tìm GTLN của biểu thức:  với a ≥ 1, b ≥ 2, c ≥ 3

d. Tìm GTLN của biểu thức 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:

 a. y = (x + 3)(5 – x);  -3 £ x £ 5.                        b. y = x(6 – x); 0£ x £ 6

HD:  a. Maxy = 16 khi x = 1                                 b. Maxy = 9 khi x = 3

Bài 2. Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a. Cho a, b ³ 0 thoả a + b = 1. Tìm GTNN của : .

b. Tìm GTNN của biểu thức .

HD:   Bình phương 2 vế ta được: (1) Û    (*)

 Nếu ab + xy < 0  thì (*) hiển nhiên đúng.

 Nếu ab + xy ³ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) Û (bx – ay)² ³ 0 (đúng).

Bài 3.  

a. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh:

b. Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = Ö3. Tìm GTNN của biểu thức:

HD: a. Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

b. Tương tự câu a). Ta có 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Cho ba số a, b, c tỏa mãn điều kiện ab + bc + ca =1. Tìm GTNN của biểu thức A = a² + b² + c²

Bài 2. Cho 2x + 5y = 7. Tìm GTNN của M = 2x² + 5y² + 2006

Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn  nhất của biểu thức:

Bài 4. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

Bài 5. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

Bài 6. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

 b. C = y – 2x + 5, với 36x² + 16y² = 9.   

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

Thư viện tài liệu

Video

Bản đồ