Gia sư môn Toán

»

Gia su toan 10 tai Vinh - Tích vô hướng của 2 véc tơ P1

 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ

1. Định nghĩa

Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn . Giả sử M(x; y).

sina = y (tung độ)

cosa = x (hoành độ)

Chú ý

-  Nếu a t thì cosa< 0, tana< 0, cota< 0.

-  tana chỉ xác định khi a¹ 90⁰, cota chỉ xác định khi a¹ 0⁰ v a¹ 180⁰.

2. Tính chất

• · Góc phụ nhau                                   · Góc bù nhau

sin(90⁰ - a) = cosa                                    sin(180⁰ - a) = sina

cos(90⁰ - a) = sina                                    cos(180⁰ - a) = -cosa

tan(90⁰ - a) = cota                                     tan(180⁰ - a) = - tana

cot(90⁰ - a) = tana                                     cot(90⁰ - a) = - cota

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Các hệ thức cơ bản

Chú ý: 0 £ sina £1; -1£cosa£1.

PP GIẢI BÀI TẬP          

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a. asin0⁰ + bcos0⁰ + csin90⁰.     

b. acos90⁰ + bsin90 + csin180⁰.

c. a²sin90⁰ + b²cos90⁰ + c²cos180⁰.

d. 3  - sin²90⁰ + 2cos²60⁰ – 3tan²45⁰.

e. 4a²sin²45⁰ – 3(atan45⁰)² + (2acos45⁰)².

Bài 2. (B1-SGK) CMR trong tam gic ABC ta có:

a. sinA = sin(B+C);                    b. cosA = - cos(B+C)

Bài 3. (B2-SGK) CMR:

a. sin105⁰ = sin75⁰                  

b. cos170⁰= - cos10⁰

c. cos122⁰ = - cos58⁰

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a. sinx + cosx khi x bằng 0⁰; 45⁰; 60⁰.

b. 2sinx + cos2x khi x bằng 45⁰; 30⁰.

Bài 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

Bài 6. (B5 –SGK HH12) Cho góc x, với cosx=1/3. Tính giá trị của biểu thức:

P = 3 sin²x + cos²x.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

 Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a. (sinx + cosx)² = 1 + 2sinx.cosx

b. sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²x.cos²x.

c. tan²x – sin²x = tan²x.sin²x.

d. sin⁶x + cos⁶x = 1 – 3sin²x.cos²x

 Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

  a. cosy + siny.tany
                   

  c. sin(90⁰ – x) + cos(180⁰ – x) + sin²x(1 + tan²x) – tan²x.

Bài 4. Cho góc x nhọn với cosx = 1/4, Tính các giá trị lượng giác của các góc x.

XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Góc giữa hai vectơ

                                 

Chú  ý:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÁI TẬP

Bài 1.Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính góc giữa các vec tơ sau:

Bài 2. (B2 –SGK HH10) Cho AOB l tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và

AK. Giả sử góc 

b. Tính AK và OK theo a và a.

Bài 3. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tính góc giữa:

Bài 4. (B6 –SGK HH10) Cho hình vuông ABCD. Tính: 

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Xác định góc giữa các cặp vecto sau:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tam gic ABC vuông tại A có góc  . Xác định góc giữa các cặp vecto sau:

Bài 2. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giá còn lại:

Bài 3. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính:

Bài 4. Cho tam giác đều ABC, có G là trọng tâm:

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Tích vô hướng của hai vectơ

• Định nghĩa:     

Đặc biệt:  
    

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1. (B1 – SGK HH10) Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:

Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

Bài 3. (B2 – SGK HH 10) Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA= a, OB = b. Tính tích vô hướng   trong hai trường hợp sau:

a. A và B cùng phía đối với O

b. A và B khác phía đối với O

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.

Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 6. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phương pháp : Ta sử dụng các phép toán về vec tơ và các tính chất của tích vô hướng .

Về độ dài ta chú ý :AB² =(vtAB)²= (vtOB-vtOA)²

II. PP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: .  

Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.

a) Chứng minh: 

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Bài 3. ( Công thức hình chiếu)

Cho hai vectơ . Gọi B' là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Chứng minh rằng:  (Công thức hình chiếu)

Bài 4. Cho tam giác ABC.  và M là một điểm bất kỳ

1. Chứng minh rằng: 

2. Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh: MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

3. Suy ra  với a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: 

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD, M l một điểm bất kì. Chứng minh:

 a. MA² + MC² = MB² + MD².                  

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC =aÖ3. Gọi M trung điểm của BC biết: . Tính AB và AC

Đs: AB = aÖ2, AC = a.

CHỨNG MINH HAI VECTO VUÔNG GÓC, ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ĐK để 2 vecto vuông góc là tích vô hướng bằng 0

Công thức hình chiếu

II. PP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là: .

Bài 2. Cho tứ giác ABCD.

a. Chứng minh AB² – BC² + CD² – DA² = 2.

b. Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB² + CD² = BC² + DA².

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AD= h, cạnh đáy AB = a, CD = b. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho:

a. AC^BD              b. BD^AN, với AM là trung tuyến của DABC

Bài 4. Cho DABC cân tại A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và E là trong tâm DACD. CMR OE^CD

Bài 5. Cho 2 vecto   với . Tìm góc giữa chúng biết rằng .

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Cho  ∆ABC  vuông  tại A có AB = c, AC = b. Tìm điểm D trên AC sao cho  BD⊥AM , với AM là trung tuyến của  ∆ABC.

Bài 2 Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M và P là trung điểm cuả AD. Chứng minh .

Bài 3. Cho DABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH và CK lần lượt là đường cao của DABC. CMR OA^HK

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTO

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

II. PP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(10; 5), B(3;2), C(6; -5).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính tích vô hướng 

c) Tìm toạ độ điểm M biết 

d) Tam giác ABC là hình gì?

Bài 2. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tính . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính chu vi, diện tích tam gic ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.

d) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.

Bài 3. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.

b) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.

c) Tìm toạ độ điểm T thoả 

d) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.

Bài 4. Cho tam giác ABC có  A(1; -1), B(5; -3), C(2; 0).

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC

.

Bài 5. Trên mặt phẳng hãy tìm góc giữa hai vta và vtb trong các trường hợp sau:

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a, BC =2a. Tính các tích vô hướng:

Bài 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

Bài 3. Cho tam giác ABC với A(3; -1); B(-4; 2); C(4; 3). Tìm D để ABCD là hình bình hành.

Bài 4. 

Bài 5. Cho tam giác ABC có A(-2; 2), B(6; 6) , C(2; -2)

a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng.

b. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

c. Tìm điểm M Î trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B

d. Tam giác ABC là tam giác gì?

e. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Thư viện tài liệu

Video

Bản đồ