Gia sư Toán 11 tại Vinh - Đường thẳng và mặt phẳng

Gia sư môn Toán

»

Gia sư Toán 11 tại Vinh - Đường thẳng và mặt phẳng

VĐ1. ĐƯỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Các tính chất thừa nhận

T/C 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

T/C 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

T/C 3: Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng và thì nó nằm trong mặt phẳng đó.

T/C 4: Có 4 điểm không cùng một mặt phẳng

T/C 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác nữa và do đó chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

T/C 6: Trên mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đề đúng

2. Cách xác định mặt phẳng

Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng, mp(ABC) hoặc (ABC)

Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng, mp( A,d) hoặc (M, d)

Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp (a, b )) hoặc (a, b)

3. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình khônng gian

Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt

4. Hình chóp – tứ diện

Hình chóp: Trong mặt phẳng (P) cho đa giác lồi A1A2…An, lấy S là một điểm nằm ngoài (P). Nói S với các đỉnh A1, A2, … An ta được n tam giác SA1A2, …SanA1. Hình gồm đa giác A1A2…An và n tam giác SA1A2..SAnA1 được gọi là hình chóp, ký hiệu S.A1A2…An

VĐ2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

I. Tóm tắt lý thuyết

♦Phương pháp 1:

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng . Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.

II. PP GIẢI BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp SABCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang có AB//CD và AB > CD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Bài 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (P) chưa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho EF cắt BC tại I. Tìm giao tuyến của 2 mp(DBC) và (DEF)

Bài 4. (B6 – SGK) Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)

Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lân lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và(KAD)

b. Gọi M, N là điểm trên đoạn AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mp (IBC) và (DMN)

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Lấy O là một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO.

a. Tìm giao tuyến của mp(MCD) với các mp(ABC) và (ABD)

b. Gọi I, K là hai điểm lần lượt lấy trên BC và BD. Tìm giao tuyến của mp(IKM) với các mp(ACD), (ABC) và (ABD).

Hướng dẫn

a. Gọi E = BOÇCD Nối EM cắt AB tại F

Þ Hai mp (MCD) và (ABC) có hai điểm chung là C và F.

Do đó: CF = mp(MCD)Çmp(ABC)

Hai mp(MCD) và (ABD) có hai điểm chung là D và F

Do đó: DF = mp(MCD)Çmp(ABD).

b. Gọi I’ = IOÇCD K’ = KOÇCD Trong mp(AIO) gọi : H = IMÇAI’ Trong mp (AKO) gọi G = KMÇAK’ Do đó: GH = mp(IKM)Çmp(ACD)

Gọi P = GHÇAC; Q = GHÇAD Do đó: IP = mp(IKM)Çmp(ABC) KQ = mp(IKM)Çmp(ABD)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mp(SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Hướng dẫn

Gọi : I = MN cắt AB G = MN cắt AD. E = MN ÇAC K = EPÇSA IK = mp(MNP)Çmp(SAB)

Tương tự: GK = mp(MNP)Çmp(SAD) H = IK cắt SB MH = mp(MNP) Çmp(SBC)

Tương tự: KG cắt SD tại L Do đó: LN = mp(MNP) Çmp(SCD)

Ta được thiết diện của hình chóp cắt mp(MNP) là hình ngũ giác MNLKH.

VĐ3: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

PP: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta tìm giao điểm cuả đường thẳng đó với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cùa AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.

a. Tìm giao điểm cuả đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)

b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP ) và (ACD)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh SC.

a. Tìm giao điểm của AM và (SBD)

b. Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN)

c. Ta chọn (SBD) chứa SD và ta đi tìm giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và (AMN).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng đi qua A không song song với các cạnh của hình bình hành và cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

a. Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng ( C’AE )

b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (C’AE) với mặt phẳng (SAD).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a. Tìm giao điểm I của đoạn thẳng AM và (SBD). CMR: IA = 2IM

b. Tìm giao điểm P của đường thẳng SD và (ABM)

c. Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và với (SBD)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

a. Tìm giao điểm M của CD và mp(C’AE).

b. Tìm thiết diện của hình chop cắt bời mặt phẳng (C’AE).

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh SC.

a. Tìm giao điểm của AM và mp(SBD)

b. Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và mp(AMN).

Hướng dẫn

a. Ta chọn mp(SAC) chứa AM, tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD).

Gọi O = ACÇBD

Ta có: SO=mp(SAC)Çmp(SBD)

Giao tuyến SO cắt AM tại I

Do đó: IÎ(SBD)

ÞI = AMÇmp(SBD).

b. Ta chọn mp(SBD) chứa SD, tìm giao tuyến của mp(SBD) và mp(AMN).

Gọi H = ANÇBD

Ta có: HI là giao tuyến của hai mp(AMN) và mp(SBD)

Trong mp(SBD) giao tuyến HI cắt SD tại K

Vậy K = SDÇmp(AMN).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mp(SBD). Chứng minh rằng IA = 2IM.

b. Tìm giao điểm P của đường thẳng SD với mp(ABM).

c. Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SBD).

Hướng dẫn

a. Ta có: I =AMÇSO nên I = AMÇmp(SBD)

AM và SO là hai đường trung tuyến của tam giác SAC

Nên I là trọng tâm tam giác SAC

Þ AI = 2IM

b. Mp(SBD) chứa SD cắt mp(ABM) theo giáo tuyến BI vì B và I đều là các điểm chung của hai mp đó.

Trong mp(SBD) đường thẳng SD cắt BI tại P.

Do đó: P = SDÇmp(ABM).

c. Mp(SCN) chứa MN cắt mp(SBD) theo giao tuyến SH, trong đó H = NCÇBD

Trong mp(SCN) đường thẳng MN cắt SH tại K

Do đó: K =MNÇmp(SBD).

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong

DBCD. Tìm giao điểm của:

a. MN và (ABO). b. AO và (BMN).

Hướng dẫn:

a. Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD).

b. Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm

lần lượt trên SA, AB, BC.

a. Tìm giao điểm của IK với (SBD).

b. Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.

Hướng dẫn:

a. Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK).

b. Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD).

VĐ4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

PP: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng nào đó, ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.

Bài 1: Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

Bài 2. Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I ,J ,K thẳng hàng.

Bài 3. Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (α) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (α), (β) sao cho OA và OB lần lượt cắt (β) tại A’ và B’.

a. Chứng minh 3 điểm I, A’, B’ thẳng hàng

b. Trong (α) lấy điểm C sao cho A, B, C không thằng hàng. Gỉa sử OC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tai J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.

Bài 4. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng . Gọi M, P, Q là các điểm lần lượt thuộc các đoạn AC, BC, CD. Các cặp đường thẳng AP và MB, AQ và MD cắt nhau lần lượt tại E và F. Chứng minh PQ cắt BD tại K thì K, E, F thẳng hàng.

Bài 5. Trong mặt phẳng (a) cho tứ giác ABCD có cạnh đối AD và BC cắt nhau tại N, S là điểm không thuộc mặt phẳng (a). Gọi I là điểm thuộc cạnh SB, E là giao điểm của DI và mặt phẳng (SAC), K là giao điểm của SC và NI. Chứng minh rằng A, E, K thẳng hàng.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (a) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA lần lượt là tại P và Q.

a. Gọi I = AM ∩DN và J = BP ∩ EQ.Chứng minh bốn điểm S, I, J , G thẳng hàng

b. Giả sử AN ∩ DM = K ; BQ ∩ EP = L.Chứng minh S, K, L thẳng hàng.

Hướng dẫn

a. Ta có S, I, J, G là điểm chung của hai mặt phẳng (SAE) và (SBI) nên chúng thẳng hàng

b. Vì S, K, L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) nên chúng thẳng hàng.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB.

a . Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mp(SAC)

b . Gọi O = ADÇBC, M = SCÇOK. Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.

Hướng dẫn

a. Gọi H = ACÇBI; G = ACÇBD

Trong mp(SBI): IK cắt SH tại E

Trong mp(SBD): DK cắt SG tại F

Ta cso: E = IKÇmp(SAC); F = DKÇmp(SAC).

b. Các điểm A, E, F, M Î mp(AKO)

Các điểm A, E, F, M Î mp(SAC)

Vậy A, E, F, M là bốn điểm chung của hai mp(AKO) và (SAC) nên chúng cùng nằm trên đường giao tuyến của hai mp đó

Vì vậy chúng thẳng hàng.

VĐ 5: CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

PP: Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta c/minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại (đường thẳng còn lại là giao tuyến của 2 mặt phẳng lần lượt chứa 2 đường thẳng đó).

Bài 1. Cho tứ diện ABCD.Gọi G₁, G₂, G₃, G₄ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng AG₁, BG₂, CG₃, DG₄ đồng quy.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD nằm trong mặt phẳng (α)có 2 cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (a) và M trung điểm của đoạn SC.

a. Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng A’C’, B’D’ và SI đồng quy.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD và điểm S không thuộc mp(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C.

a. Tìm giao điểm N của đường thẳng SD vớ mặt phẳng (ABM)

b. Giả sử hai cạnh AB và Cd không song song, hãy chứng minh ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.

Bài 5 (SGK). Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. S là điểm nắm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm của đoạn SC.

a. Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.

Bài tập đề nghị.

Bài 1. Cho hình vuông ABCD, ABEF không cùng thuộc một mp. Trên AC lấy điểm M, trên BF lấy điểm N sao cho . Chứng minh DM, AB, EN đồng quy.

Hướng dẫn

Trong (ABEF) gọi I₁ là giao điểm EN và AB

Trong (ABCD) gọi I₂ là giao điểm DM và AB

Từ (3), (4) Þ I₂ = I₁ = I

Vậy DM, AB, EN đồng quy tại I.

VĐ6: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT HÌNH CHÓP VỚI MỘT MẶT

Pp: Để tìm thiết diện tạo bởi hình chóp (S) và mặt phẳng (a) , ta tìm giao điểm của (a) với các cạnh của hình chóp. Sau đó nối các giao điểm lại.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD, M là điểm trên cạnh AD với MD = 3MA. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện ABCD và mặt phẳng (IJM).

Bài 2 (SGK). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt BC tại E.Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có AB và CD cắt nhau tại tại một điểm E. M là trung điểm cạnh SC. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp đã cho và mặt phẳng (MAB).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD.Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và BC sao cho MN không song song với SB và NP không song song với CD. Xác định thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp.

Bài 5. Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

c. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).

Bài tập đề nghị.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Gọi (a) là mp xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD.

Hướng dẫn

Trong mp(ABC), đường thẳng MN cắt AB tại I

Trong mp(ABD), đường thẳng IP cắt AD tại Q.

Ta có: MN =(a)Ç(ABC)

NP =(a)Ç(BCD)

PQ =(a)Ç(ABD)

QM =(a)Ç(ACD)

Ta được thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mp(a) là tứ giác.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE).

Hướng dẫn

Gọi I = MNÇBD

Trong mp(SBD): IE cắt SB tại Q

MN cắt BC tại H và MN cắt AB tại K

Ta có: HQ = (SBC)Ç(EMN)

Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên của hình chóp.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của

AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).

HD: Thiết diện là 1 ngũ giác.

Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).