Gia sư môn Toán
»
Gia sư toán lớp 11 tại thành phố Vinh -Hai đường thẳng song song
VĐ1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
* Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng
* Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
2. Các tính chất
* Qua một điểm A cho trước không nằm trên trên đường thẳng b cho trước, có một và chỉ một đường thẳng a song song với b
* Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
* Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
3. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp 1:
Sử dụng định lý: Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.
♦Phương pháp 2:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu có) song song với đường thẳng đó.
♦Phương pháp 3: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
♦Phương pháp 4:
Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh tứ giác MQNP là hình bình hành.Từ đó suy ra 3 đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ song song với CD.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ//MN và PQ//AC.
Bài 4. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có chung hai cạnh AB và không cùng nằm trên một mặt phẳng. M trên đường chéo AC và N trên đường chéo BF với
a. Chứng minh DM, AB và EN đồng quy tại trung điểm I của AB
b. Chứng minh MN song song với DE.
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD.Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.
Hướng dẫn
Vì MP là đường trung bình của tam giác ABC, NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên MP // AC, NQ // AC. Vậy MP // NQ và MP = NQ, do đó tứ giác MPNQ là hình bình hành.
Từ đó, ta suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy, ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn thẳng đó.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau ?
Hướng dẫn
Ta có: CD Ì(BCD)
AB Ç(BCD) = B
B ÏCD
Vậy AB và CD chéo nhau
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M nằm trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM//BN.
Hướng dẫn
Gọi I là giao điểm của BC và AD. Khi đó: (SAD)Ç(SBC) = SI
Giả sử có MÎSD, NÎSC sao cho AM//BN. Khi đó hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến SI phải song song với AM và BN. Từ đó ta suy ra cách xác định điểm M và N như sau:
Từ A trong mp(SAD) ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SD tại M; từ B trong mp(SBC) ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SC tại N. Khi đó M và N hai điểm cần tìm.
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng:
a. ME//AC, NF//BD
b. Ba đường thẳng ME, NF, và SO ( O là giao điểm của AC và BD) đồng quy.
c. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Hướng dẫn
a. Xét tam giác SAC. Ta có ME là đường trung bình nên ME//AC. Tương tự NF//BD.
b. Trong mp(SAC) gọi I giao điểm ME và SO. I trung điểm SO. FI là đường trung bình của tam giác SOD
Vậy FI//DO.
Gọi N’ là giao điểm của FI với SB
Do FN’//BD và F trung điểm của SD
Þ N’ trung điểm của SB, hay N’ºN
Vậy ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I
c. Do ME và NF cắt nhau tại I, nên qua ME và NF xác định một mp. Từ đó suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
VĐ2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
PP:
Bước 1: Tìm giao điểm chung của hai mặt phẳng
Bước 2: Áp dụng các định lý về giao tuyến để xác định phương giao tuyến (nghĩa là chứng minh giao tuyến song song với đường thẳng a đã có)
Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua điểm chung và song song với a.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây:
a. (SAC) và (SBD)
b. (SAD) và (SBC)
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và S là điểm không thuộc mặt phẳng của hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành . Hãy xác định giao tuyến của các cặp mp (SAB) và (SCD)
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi S là điểm không thuộc mặt phẳng ( ABCD) sao cho SA = SB = a; SC = SD = a = x = Ö3; E, F lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý trên BC.
a. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)
b. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (MEF) và (ABCD). Suy ra giao điểm N của AD và mp(MEF). Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình thang cân.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD.Gọi I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC. M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.
a. Tìm giao tuyến d của hai mp(MIJ) và mp (ABD)
b. Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d và K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp điểm K di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD)
c. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ)
Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD.Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Hướng dẫn
S là điểm chung của
(SAD) và (SBC). Mà:
AD Ì(SAD)
BC Ì(SBC)
AD//BC
Nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song với AD, BC.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M thuộc SA. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB)
Hướng dẫn
Ta có: AB//CD
Hai mp(SAB) và (MCD) lần lượt chứa hai đường thẳng AB//CD thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua điểm M song song với AB cắt SB tại N.
Vậy MN là giao tuyến của hai mp (SAB) và (MCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(A’B’C’).
Hướng dẫn
Trong (ABCD), gọi O = ACÇBD
Trong (SAC), gọi O’= A’C’ÇSO
Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ÇSD
Có hai trường hợp:
Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
Nếu D’ không thuộc cạnh SD thì
Gọi E = CDÇC’D’
F = ADÇA’D’
Þ Thiết diện là tứ giác A’B’EF.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB
a. Chứng minh rằng MN//BD
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE)
c. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD.
Hướng dẫn
a. Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và AD.
MN//M’N’, M’N’//BD
Þ MN//BD
b. Ta có:
MN Ì(MNE)
BD Ì(ABCD)
MN//BD
Þ (MNE)Ç(ABCD) = Ex thỏa mãn Ex//NM//BD
Vậy từ E ta kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH
c. Ta có:
MN Ìmp(MNE)
DB Ìmp(SBD)
MN//DB
Và (MNE)Ç(SBD) = LH
Þ LH//DB.
TIN KHÁC
- » Gia sư môn toán
- » Đề, đáp án môn Toán thi thử lần 2 liên trường THPT Nghệ An 2019
- » Gia sư môn toán lớp 1-12 tại thành phố Vinh và phụ cận
- » Phương pháp dạy học toán cho học sinh trung bình - Gia sư Toán giỏi tại Vinh
- » Phương pháp học toán hiệu quả - Gia sư toán lớp 1 2 3 5 5 6 7 8 910 11 12 tại Vinh
- » Gia sư Toán Lý, Hoá cho học sinh lớp 12, LTĐH tại thành phố VInh
- » Tớ đã học Toán để thi Đại học như thế nào? Gia sư toán tại thành phố Vinh
- » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - phần mệnh đề
- » Gia sư lớp toán tại tp vinh - Toán 10 HÀM SỐ. TẬP XÁC ĐỊNH – ĐỒ THỊ
- » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH
- » Gia sư toán 10 tại thành phố Vinh - Phương trình
- » Gia sư toán lớp 10 ở thành phố Vinh - Bất đẳng thức
- » Gia sư toán 10 tại Vinh - Thống kê
- » Dạy kèm toán lớp 10 tại Vinh - Lượng giác
- » Gia sư toán lớp 11 tại thành phố Vinh - Phương trình lượng giác
- » Gia sư toán 11 tại Vinh - Tổ hợp và xác suất
- » Gia su taon 11 tai Vinh - Dãy số, cấp số
- » Gia sư toán lớp 11 - Giới hạn dãy số
- » Gia sư toán lớp 11 tại TP Vinh - Giới hạn của hàm số
- » Gia sư toan 11 tai tp Vinh - Tính liên tục của hàm số
- » Gia sư toán 10 tại thành phố Vinh - Đạo hàm
- » Gia sư toán 11 tại Vinh - Phép biến hình phần 1
- » Gia su toan 11 tai Vinh - Phép biến hình phần 2
- » Gia sư toán 11 tại Vinh - Phép biến hình phần 3
- » Gia sư Toán 11 tại Vinh - Đường thẳng và mặt phẳng
- » Gia su toan 11 tai Vinh - Đường thẳng song song mặt phẳng
- » Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Hai mặt phẳng song song
- » Những công thức toán học cần nhớ - Gia sư môn Toán lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 tại Vinh
- » Gia sư toán 10 tại Vinh - Tập hợp
- » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - Hàm số thực
- » Toán 10 thành phố Vinh - Hàm lượng giác cơ bản
- » Gia sư toán lớp 10 ở tp Vinh - Hàm lượng giác ngược
- » Gia sư toán 10 tại Vinh - Hàm số mũ và logarit
- » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Mệnh đề
- » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - Tập hợp
- » Gia sư toán 10 tại tp Vinh - Hàm số
- » Gia sư toán lớp 10 tại thành phố Vinh - Phương trình
- » Dạy kèm toán 10 tại thành phố Vinh - Hệ phương trình
- » Gia sư toán lớp 10 thành phố Vinh - Bất đẳng thức
- » Gia sư toán 10 tại tp Vinh - Bất đẳng thức Cô si
- » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - BĐT chứa dấu GTTĐ
- » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
- » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN
- » Gia sư toán tại Vinh - Bài tập nâng cao BĐT
- » Gia sư toán 10 tại Vinh - PT, BPT
- » Gia sư toán 10 tại thành phố Vinh - Phương trình - Bất phương trình
- » Gia sư toán lớp 10 tại thành phố Vinh - Thống kê
- » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Vec tơ phần 1
- » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Vec tơ phần2
- » Gia sư toán lớp 10 - Vec tơ phần 3
- » Gia su toan 10 tai Vinh - Tích vô hướng của 2 véc tơ P1
- » Gia su toan 10 tai Vinh - Tích vô hướng của 2 véc tơ P2
- » Gia su toan 10 tai Vinh - Phương trinh dương thang
- » Gia su toan 10 tai Vinh - Phương trinh dương tron
- » Gia su toan 10 tai Vinh - Elip
- » Gia sư toán lớp 11 tại thành phố Vinh - Hàm số ượng giác
- » Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Vec tơ trong không gian
- » Gia sư toán 11 tại Vinh - Hai đường thảng vuông góc
- » Gia sư toán 12 tại Vinh - Khảo sát hàm số và ứng dụng đồ thị hàm số
- » Gia sư toán lớp 12 tại TP Vinh - Đạo hàm và ứng dụng
- » Gia sư Toán tại Vinh -Đạo hàm và ứng dụng P3
- » Gia sư toán 12 tại tp Vinh - PT mũ - logarit
- » Mẹo làm bài thi tốt nghiệp môn Toán đạt điểm cao
- » Dạng bài tập dễ xuất hiện trong đề thi ĐH môn Toán
- » Môn Toán: Học sinh chỉ nháp ra giấy nội dung khó
- » Yếu tố nào quyết định BẠN đạt điểm cao môn toán
- » Mẹo làm bài thi tốt nghiệp môn Toán đạt điểm cao
- » Phân tích, dự đoán cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT mônToán
- » Phân tích đề Toán trước khi vào phòng thi
- » Cách giải khác của câu hỏi hóc búa nhất trong đề Toán
- » Phổ điểm Toán đề thi đại học khối A, A1 2014 ở khoảng 5-6
- » Giải câu hệ phương trình khối A năm 2014 bằng nhiều cách
- » Giải đề Toán khối A 2014 bằng nhiều cách
- » Mời bạn đọc xem gợi ý bài giải môn Toán khối B, khối D kỳ thi ĐH đợt 2.
- » 11 cách giải cho câu hình học phẳng (câu 7) khối A 2014
- » Làm đúng nhưng khác đáp án, có được điểm ?
- » Bài giải môn toán, kỳ thi cao đẳng 2014
- » Ôn thi đại học môn Toán: Tổ hợp và xác suất
- » Đề thi kiểm tra năng lực
- » Ôn thi đại học môn Toán: Cực trị của hàm số
- » Tính nhân bằng giao điểm
- » 7 mẹo tính toán mà chúng ta không được học ở trường
- » Các dạng toán về xác suất
- » Đề, đáp thi thử Đại học môn Toán
- » Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến
- » Phương pháp đồng bậc để giải hệ phương trình
- » 3 lỗi trình bày mất điểm như chơi khi làm bài thi môn Toán
- » 9 bài học giúp học sinh vượt qua các bài toán chứng minh hình học
- » 12 phương pháp chứng minh bất đẳng thức
- » Bí kíp sử dụng máy tính casio "triệt hạ" câu Hệ phương trình
- » CÁCH TÍNH LIM (giới hạn) BẰNG CASIO FX 570 ES
- » Đáp án đề thi THPT quốc gia môn Toán năm 2015 mới nhất (cập nhật)
- » 199 bài tập hệ phương trình có đáp án- luyện thi THPT Quốc Gia
- » Tuyển chọn 20 đề thi thử các trường chuyên có đáp án thang điểm chi tiết
- » Tuyển tập đề thi vào 10 các tỉnh năm học 2013 - 2014
- » Bài toán "Kim đồng hồ"
- » Nội dung ôn tập thi THPT 2018
- » Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
- » 14 tính chất hình học mặt phẳng giúp bạn lấy điểm tối đa
- » Công thức tính diện tích và thể tích các hình khối cơ bản
- » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 12 - THPT Huỳnh Thúc Kháng Vinh
- » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 11 - THPT Chuyên Vinh
- » Đề ôn tập học kỳ 1 lớp 12 - Vinh 1
- » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 12 - THPT Lê Viết Thuật
- » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 12
- » Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
- » Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?
- » Bài 2. Phép đối xứng qua mặt phẳng – HH12 NC
- » Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2019 lần 3 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
- » Bộ đề thi thử THPT 2019 - Môn Toán (Đáp án chi tiết)
- » Bộ đề chống liệt môn Toán thi THPT 2019
- » Giải chi tiết đề Toán thi thử lần 3 Chuyên ĐH Vinh
- » Đáp án, đề thi thử THPT quốc gia lần 1 năm 2020 của liên trường THPT tỉnh Nghệ An