Gia sư môn Toán

»

Gia su toan 11 tai Vinh - Đường thẳng song song mặt phẳng

VĐ1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh MN song song với mặt phẳng (BCD).

Giải:

        Tam giác ABD có:

           M trung điểm của AB                

           N trung điểm của AD.                          

           Nên MN là đường trung  bình của tam giác ABD

           Do đó MN // BD

           Mà BD Ì (BCD)

           MN Ë (BCD)

           Vậy MN // (BCD).

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M; N tuỳ ý trên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh MN // mặt phẳng (A’B’C’D’).

 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1.Cho tứ diện ABCD.G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD)

Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BAD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (BDC)

Bài 3. Hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng .

A .Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và ABEF . Chứng minh đường thẳng OO’ song song với các mặt (ADF) và (BCE)

b. Gọi M và N  lần lượt là trọng tâm cuả tam giác ABDvà ABE. Chứng minh MN//(CEF).

Bài  4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và ABC. Chứng minh rằng MN//(SCD)

Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AD, CC’

A . Chứng minh MN//(ACB’)

b . Xét trường hợp tổng quát khi M, N là hai điểm lấy trên các cạnh AD và CC’ thỏa mãn điều kiện . Chứng minh MN//(ACB’)

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD

a. Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD)

b. GỌI P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP)

c. Gọi G₁ và G₂ là trọng tâm tam giác ABC và SBC. Chứng minh G₁G₂ // (SAB).

VĐ2: TÌM GIAO TUYẾN CUA HAI MĂT PHẲNG, THIẾT DIỆN CHO BỞI QUAN HỆ SONG SONG

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (a) với hình chóp S.ABCD nếu (a) qua M và đồng thời song song với SC và AD.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB, a là mp qua M và song song với AD và SB

a .Mp(a) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?

b. Chứng minh rằng SC// (a).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(a) đi qua O, song song với AB và SC, thiết diện đó là hình gì?

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (b) đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.

Bài Tập Đề Nghị

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE).

Hướng dẫn

Gọi I = MNÇBD

Trong mp(SBD), IE cắt SB tại Q.

Trong mặt phẳng đáy đường thẳng MN cắt BC tại H và cắt AB tại K.

Ta có: HQ =(SBC)Ç(EMN) và KQ cắt SA tại R.

Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên của hình chóp.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với M, N là hai điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi (a) là mặt phẳng qua MN và song song với SA.

a. Tìm các giao tuyến của mp(a) với các mp(SAB) và (SAC)

b. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(a)

Hướng dẫn

a. mp(a)//SA mà SAÌ(SAB) và MÎ(a)Ç(SAB)

b. Ta biết một điểm chung M của (a) và (SAB) đồng thời biết phương của giao tuyến là phương song song với SA.

Vậy (a)Ç(SAB) = MP với MP//SA

Tương tự ta có: R = ACÇMN là một điểm chung của (a) với (SAC) đồng thời mp(a)//SA mà SAÌ (SAC) nên ta có giao tuyến là RQ = (a)Ç(SAC) với RQ//SA.

b. Các đoạn giao tuyến của (a) với các mặt (SAB), (SBC), (SCD) và (ABCD) là MP, PQ, QN, NM. Do đó thiết diện là tứ giác MPQN.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD//BC, AD =2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác A và C. Qua I, ta vẽ mp(a)//(SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp S.ABCD.

Hướng dẫn

Ta thấy rằng tứ giác BEDC là hình bình hành vì:

ED//BC, ED = BC

Trường hợp 1: I thuộc AO và I khác O. Gọi vị trí này là I₁, (a)//(SBE) nên (a)// BE và (a)// SO.

(a)// BE nên (a) cắt (ABE) theo giao tuyến M₁N₁ đi qua I₁ và M₁N₁//BE (M₁ÎAB, N₁ÎAE).

(a)// SO nên (a) cắt (SAC) theo giao tuyến S₁I₁ đi qua I₁ và //SO (S₁ÎSA).

Ta có thiết diện là tam giác S₁M₁N₁.

Trường hợp 2: I thuộc đoạn OC và I khác O. Gọi vị trí này là I₂, (a)//(SBE) nên (a)// BE và (a)// SO.

(a)// BE nên (a) cắt (BEDC) theo giao tuyến M₂N₂ đi qua I₂ và M₂N₂//BE (M₂ÎBC, N₂ÎED).

(a)// SO nên (a) cắt (SOC) theo giao tuyến QI₂ đi qua I₂ và //SO (QÎSC).

Do (a)//CD( vì CD//BE) nên (a) sẽ cắt hai mp(BEDC) và (SDC) theo hai giao tuyến M₂N₂, PQ cùng cong song với CD (PÎSD)

Ta có thiết diện là hình thang M₂N₂PQ

Trường hợp 3. Iº O

Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC. Lấy (a) là mặt phẳng đi qua I và song song mp(SBD). Xác định thiết diện của mp(a) với hình chóp S.ABCD.

Hướng dẫn

Trường hợp 1: I thuộc AO. Khi đó I ở vị trí I₁,

Ta có: (a)//(SBD) Þ (a)// BD và (a)// SO.

Vì (a)// BD nên (a) cắt (ABD) theo giao tuyến M₁N₁ và M₁N₁//BD.

Tương tự (a)// SO nên (a) cắt (SOA) theo giao tuyến S₁I₁ và //SO.

Ta có thiết diện là tam giác S₁M₁N₁.

Trường hợp 2: I thuộc đoạn OC.

Khi đó I ở vị trí  I₂, tương tự ta có thiết diện là tam giác đều S₂M₂N₂ có M₂N₂//BD, S₂M₂//SB, S₂N₂//BD.

Trường hợp 3. Iº O: thiết chính là tam giác đều SBD.

Thư viện tài liệu

Video

Bản đồ