Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Vec tơ trong không gian

Gia sư môn Toán

»

Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Vec tơ trong không gian

BÀI 1 . VECTO TRONG KHÔNG GIAN

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA:

1. Vecto và các yếu tố

Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Ký hiệu : (A điểm đầu, B điểm cuối)

Ký hiệu:

Giá của vecto là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối cuả veto đó.

Độ dài của vecto là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó:

Hai vecto cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

2. Hai vecto bằng nhau

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng

Vecto không (0): độ dài bằng 0 và phương hướng tùy ý. Điểm đầu và cuối trùng nhau:

II. CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTO:

1. Phép cộng vectơ:

Cho vecto

2. Phép trừ vectơ

3. Các quy tắc cần nhớ

Qui tắc ba điểm :

Qui tắc hinh binh hành:

Qui tắc hinh hộp:

Qui tắc ba điểm mở rộng:

4. Phép nhân vectơ với một số thực k:

III. ĐIỀU KIỆN BA VECTO ĐỒNG PHẲNG

1. Định nghĩa

Trong không gian ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

2. Điều kiện ba vecto đồng phẳng

Trong không gian, cho ba véc tơ không cùng phương đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất k, l sao cho:

3. Phân tích một vecto theo 3 vecto không đồng phẳngTrong không gian cho ba véc tơ không đồng phẳng .Khi đó với mọi véc tơ ta đều tìm được duy nhất một bộ ba số m,n,p sao cho :

BÀI 1 : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa các yếu tố của vectơ: sự cùng phương, sự cùng hướng,..

Dựa vào các tính chất hình học của hình đã cho trong không gian.

Bài 1. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

a. Cùng phương với

b. Cùng hướng với

c. Ngược hướng với

Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Hãy cho ví dụ về tên của các vectơ bằng nhau có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lăng trụ đã cho.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy kể tên các vec tơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và lần lượt bằng các vectơ .

BÀI 1 : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

VĐ 2: Chứng minh các đẳng thức về vectơ.

Phương pháp :

Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biên đổi vế này thành vế kia và ngược lại.

Sử dụng các tính chất của các phép toán về vectơ như tính chất giao hoàn, tính chất kết hợp và các tính chất hình học cụ thể của hình đã cho.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH (có AE // BF // CG // DH). Chứng minh rằng :

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Chứng minh rằng: với O là tâm của hình bình hành.

Bài 3. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB trên đó ta lấy điểm C sao cho . Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ ta luôn luôn có :

BÀI 1 : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

VĐ 3. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.

Phương pháp :

Dựa vào định nghĩa: chứng tỏ các vectơ có giá trị song song với một mặt phẳng đã được xác định nào đó.

Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có một cặp số m, n sao cho là hai vectơ không cùng phương.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lất điểm M sao cho và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho

Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH. Gọi K là giao điểm AH và DE, I là giao điểm của DF và BH. Chứng minh rằng ba vectơ

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’, A’B’, B’C’, BC, CC’. Chứng minh rằng :

trong đó I là tâm của hình bình hành ABB’A’ và K là tâm của hình bình hành ADD’A.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Lấy một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho và trên đoạn thẳng BC lấy điểm N sao cho . Chứng minh ba vectơ

Bài 5. Cho tứ diện ABCD : P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hai điểm M, N lần lượt chia hai đoạn thẳng BC và AD theo cùng một tỉ số k. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, M, N nằm trên một mặt phẳng.