Các dạng toán về xác suất

Gia sư môn Toán

»

Các dạng toán về xác suất

CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT PHỔ THÔNG.

I/ Kiến thức cơ bản.

1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2/ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử .Kí hiệu là .Ta chỉ xét các phép thử với là tập hữu hạn.

3/ Biến cố A là tập con của không gian mẫu .Tập Ø gọi là biến cố không thể, Tập gọi là biến cố chắc chắn.

4/Nếu khi phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra,hay phép thử là thuận lợi cho A.

5/Biến cố \ A được gọi là biến cố đối của A.

6/ A và B đối nhau

7/A xảy ra không xảy ra.

VD: Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” thì là biến cố :”Lấy hai quả khác màu”

VD: Gọi biến cố A :” Lấy được ít nhất một quả cầu màu trắng ”

nên là biến cố :”Không lấy được quả cầu màu trắng nào ”.

8/ Biến cố xảy ra A hoặc B xảy ra.

9/ Biến cố xảy ra A và B cùng xảy ra.

10/ Nếu Ø thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

11/ Định nghĩa xác suất.

Kí hiệu n(A) là số phần tử của biến cố A liên quan đến phép thử với không gian mẫu còn n( ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử ,thì tỉ số gọi là xác suất của biến cố A, Kí hiệu là P(A).

12/Tính chất của xác suất.

+ P(Ø) = 0; P( ) = 1; với mọi biến cố A.

+ Nếu A và B xung khắc thì .

+ Với mọi biến cố A thì ta có .

+ Mở rộng : Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì :

13/Biến cố độc lập.

Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

14/ Tính chất của biến cố độc lập.

+ A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

+ A và B độc lập và B độc lập và A độc lập và độc lập.

II/ Các dạng bài tập.

DẠNG 1/ XẾP CHỖ NGỒI VÀ CHỌN NGƯỜI.

Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi.Tính xác suất để

a/ A và B ngồi đầu bàn.

b/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn dài.

c/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn.

Giải 1.

a/ A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài.

Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên 5! = 120

Gọi biến cố M là:” Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn” có 2 giai đoạn:

+ Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! cách

Nên n (M) = 2.3!

Vậy P (M) =

b/Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có hai giai đoạn.

+ Buộc A vào B có hai cách là AB;BA

+ Xếp 4 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA) vào 4 chỗ có 4! cách

Nên n (M) = 2.4! cách.

Vậy P (M) =

c/ Cách 1: Bàn tròn có dánh số chỗ ngồi.

Xếp 5 người vào 5 chỗ nên 5!

Gọi biến cố M là: ”Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có ba giai đoạn.

+ Xếp A vào bàn trước có 5 cách.

+ Xếp B cạnh A có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! Cách.

Nên n (M) = 5.2.3! cách.

Vậy P (M) =

Cách 2: Bàn tròn không đánh số chỗ ngồi.

Xếp 5 người vào bàn tròn không đánh số chỗ ngồi để A,B ngồi cạnh nhau có 2 giai đoạn.

+ Xếp A vào bàn có 1 cách.

+ Xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ còn lại có 4! cách.

Nên 1.4! = 24.

Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có 3 giai đoạn.

+ Xếp A vào 1 chỗ có 1 cách.

+ xếp B cạnh A có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! cách.

Nên n (M) = 1.2.3! = 12

Vậy P (M) =

Bài 2/

Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang.Tìm xác suất sao cho :

a/Namnữ ngồi xen kẽ nhau.(ĐS: 0.1)

b/ Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.(ĐS:0.2)

Bài 3/

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.Tính xác suất sao cho:

a/Nam,nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS:2/3)

b/Nữ ngồi dối diện nhau.(ĐS: 1/3)

Bài 4/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người .Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

a/ Cả hai đều là nữ.(ĐS:1/15)

b/ Không có nữ nào.(ĐS: 7/15)

c/ Ít nhất một người là nữ.(ĐS: 8/15)

d/ Có đúng một người là nữ.(ĐS: 7/15)

Bài 5/ Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn . Tính xác suất sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. (ĐS: 0,008)

Bài 6/ Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hang ngang. Tính xác suất sao cho.

a/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà.

b/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.

Giải 6/

Xếp 6 người vào 6 cái ghế nên số cách xếp là một hoán vị của 6.Do đó

a/ Gọi biến cố A:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà” Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp.

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn bà ngồi hai bên.

+ Còn ba chỗ còn lại xếp ba người đàn ông thì có 3! Cách xếp

Theo quy tắc nhân ta có 4.2.3! = 48

Vậy

b/ Gọi biến cố B:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông”.Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp.

+ Chọn 2 trong số 3 người đàn ông.Có cách.

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn ông ngồi hai bên.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại. Có 3! Cách.

Theo quy tắc nhân ta có n(B) = 4.3.2.3!= 144

Vậy

Bài 7/ Cũng hỏi như bài 6 nhưng 6 ghế được xếp quanh bàn tròn.(ĐS:a/ 1/10 b/3/10)

Bài 8/ Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào 2 dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy ghế sau có 3 người.

Giải 8/ Chọn 4 người trong 7 người để xếp vào 4 ghế ở dãy đầu. Có cách.

Còn lại 3 người xếp vào dãy sau thì có 3! Cách. Vậy có tất cả .3! = 5040 cách xếp.

DẠNG 2/CHỌN QUẢ CẦU.

Bài 1/ Có hai hộp chứa các quả cầu .Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng,4 quả đen.

Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen.Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả.

Gọi A là biến cố :” Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”.và B là biến cố:”Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

a/Xét xem A và B có độc lập không.(ĐS: Độc lập)

b/Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu.(ĐS:12/25)

c/ Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra khác màu.(ĐS:13/25)

Bài 2/ Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen,lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả.Tính xác suất sao cho :

a/Bốn quả lấy ra cùng màu.(ĐS: 8/105)

b/Có ít nhất một quả màu trắng.(ĐS:209/210)

Bài 3/ Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đên 10. 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đên 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả.Tìm xác suất sao cho quả được chọn:

a/ Ghi số chẵn.(ĐS: 1/2)

b/ Màu đỏ.(ĐS: 1/3)

c/ Màu đỏ và ghi số chẵn.(ĐS: 1/6)

d/ Màu xanh hoặc ghi số lẻ.(ĐS: 5/6)

Bài 4/Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên một quả. Gọi A là biến cố: “ Quả lấy ra màu đỏ” B là biến cố :” Quả lấy ra ghi số chẵn” Hỏi A và B có độc lập không.(ĐS:Độc lập)

Bài 5/ Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:

a/ Cả 2 quả đều đỏ.

b/ Hai quả cùng màu.

c/ Hai quả khác màu.

Giải 5: Gọi biến cố A:”Lấy 1 quả ở hộp thứ nhất màu đỏ”.Biến cố B:” Lấy 1 quả ở hộp thứ hai màu đỏ”.Ta có A và B là hai biến cố độc lập.

a/ Lấy cả hai quả màu đỏ là biến cố

Ta có mà P(A) = 3/5 và P(B) = 4/10 = 2/5 nên

b/ Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” nên

Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có

Nên P( C) =

c/ Do biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” nên là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” mà = 1 – 0,48 = 0,52.

Bài 6/ Một hộp đựng 4 bi xanh,3 bi đỏ, 2 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi.

a/ Tính xác suất để chọn được 2 bi cùng màu.

b/ Tính xác suất để chọn được 2 bi khác màu.

Giải 6/

a/Gọi A là biến cố:”Chọn được 2 viên bi xanh”.B là biến cố :”Chọn được 2 viên bi đỏ”.C là biến cố:”Chọn được 2 viên bi vàng”

và H là biến cố:”Chọn được 2 viên bi cùng màu”

Ta có và các biến cố A,B,C đôi một xung khắc do đó

Mà nên P(H) = 5/18.

b/ Gọi D là biến cố:”Chọn được 1 viên bi xanh và 1 bi đỏ”.E là biến cố :”Chọn được 1 viên bi xanh và 1 bi vàng”.Flà biến cố:”Chọn được 1 viên bi vàng và 1 bi đỏ”và G là biến cố chọn được 2 viên bi khác màu.

Ta có:

Nên

Cách khác: Do biến cố H:” Chọn 2 quả cùng màu” nên là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” mà = 1 – 5/18 = 13/18.

DẠNG 3/GIEO SÚC SẮC VÀ ĐỒNG XU.

Bài 1/ Một con súc sắc cân đối và đông chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao cho:

a/Tổng số chấm của hai lần gieo là 6.(ĐS: 5/36)

b/ It nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm.(ĐS:11/36)

Bài 2/ Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất một cách độc lập.Tính xác suất để

a/ Cả 3 đồng xu đều sấp.

b/Có ít nhất một đồng xu sấp.

c/Có đúng một đồng xu sấp.

Giải 2/ a/Không gian mẫu :

Gọi A là biến cố để cả 3 đồng xu đều sấp nên n(A) = 1Vậy P(A) = 1/8

b/ Gọi B là biến cố có ít nhất một đồng xu sấp nên n(B) = 7Vậy P(B) = 7/8.

c/ Gọi C là biến cố có đúng một đồng xu sấp nên n( C ) = 3 vậy P( C )= 3/8

Bài 3/ Gieo 2 đồng xu A và B.Đồn xu A chế tạo cân đối,đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.Tính xác suất để

a/ Khi gieo 2 đồng xu một lần thì 2 đồng xu đều ngửa.

b/Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa.

Giải 3/

a/ Xác suất xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu A bằng nhau và bằng ½

Ở đồng xu B thì xác suất xuất hiện mặt sấp bằng 3/4 và xác suất xuất hiện mặt ngửa là ¼. Nên xác suất để cả 2 đồng xu đều ngửa là 1/2 .1/4= 1/8

b/ Xác suất Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa là 1/8.1/8 = 1/64

Bài 4/ Gieo 6 đồng xu cân đối. Tính xác suất để có ít nhât một đồng xu sấp.

Giải 4/

Xác suất để cả 6 đồng xu đều ngửa là nên xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp là .

Bài 5/

Gieo 2 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để được ít nhất một mặt xuất hiện là mặt 6 chấm (ĐS: 11/36)

Bài 6/

Gieo 3 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên các mặt của 3 xúc sắc đó bằng nhau (ĐS: 1/36)

Bài 7/ Gieo 2 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của 2 xúc sắc đó không vượt quá 5. (ĐS: 5/18)

DẠNG 4/ RÚT LÁ BÀI.

Bài 1/ Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con,rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 con. Tính xác suất sao cho:

a/Cả 4 con đều là át. .(ĐS: 0.000 0037)

b/Được ít nhất một con át. .(ĐS: 0.28123)

c/ Được hai con át và 2 con K.(ĐS: 0.000133)

Bài 2/ Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con bích, 3 con rô, 3 con cơ,và 3 con chuồn.

Giải 2:

Rút 13 lá bài từ 52 lá nên số cách rút là:

Gọi biến cố A:” Trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con bích, 3 con rô, 3 con cơ,và 3 con chuồn.” nên n(A) =

Vậy .

Bài 3/ Ba quân bài rút từ 13 quân cùng chất rô( 2,3,4..10,J,Q,K,A)

a/ Tính xác suất để trong 3 quân bài đó không có Q và K.

b/ Tính xác suất để trong 3 quân bài đó có Q hoặc K hoặc cả hai.

c/ Tính xác suất trong 3 quân bài đó để rút được cả Q và K.

Bài 4/ Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con,lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con át thì dừng,Tính xác suất sao cho

a/ Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ hai.

b/ Quá trình lấy dừng lại sau khi lấy không quá hai lần.

Giải.a/ Gọi A_k là lần thứ k lấy được con át, ,A₁, A₂ độc lập

a/ Ta cần tính

b/ Ta cần tính .

DẠNG 5/ BẮN VÀO BIA.

Bài 1/ Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn độc lập:

a/ Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.

b/ Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Giải 1:

a/ Xác suất bắn trúng hồng tâm là 0,2 nên xác suất bắn không trúng là 1- 0,2 = 0,8

Trong 3 lần bắn độc lập

Xác suất để chỉ lần thứ nhất bắn trúng hồng tâm là 0,2.0,8.0,8 = 0,128

Tương tự chỉ lần thứ 2 hoặc lần thứ 3 bắn trúng cũng là 0,128

Vậy xác suất bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần là: 3. 0,128 = 0,384

b/ Xác suất để 3 lần bắn không trúng hồng tâm là 0,8.0,8.0,8 = 0,512

nên xác suất ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm là: 1 – 0,512 = 0,488.

Bài 2/ Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất , người thứ hai, người thứ 3 bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5

a/ Tìm xác suất để cả 3 người cùng bắn trúng đích.

b/ Tìm xác suất để có it nhất 1 người bắn trúng đích.

c/ Tìm xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích.

Giải 2: a/ Xác suất để cả 3 người cùng bắn trúng đích là P = 0,8.0,6.0,5 = 0,24

b/ Xác suất để cả 3 người bắn không trúng đích là 0,2.0,4.0,5 = 0,04

Xác suất để có ít nhất 1 người bắn trúng đích: 1 – 0,04 = 0,96

c/ Xác suất để có đúng 2 người cùng bắn trúng đích là :

0,8.0,6.0,5 + 0.2.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 = 0.46

CÁC DẠNG KHÁC:

Bài 1/Một người chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày cỡ khác nhau.Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Bài 2/Cho A và B là 2 biến cố độc lập,P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 Tính

a/ .

Giải 2/a/Ta có

=0,6 + 0,3 – 0,6.0,3 = 0,72.

b/Do A và B độc lập nên độc lập.

= 1 – P(A).P(B)

= 1- 0,18 = 0,82.

Bài 3/ Một vé số có 4 chữ số.Nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì.Bạn An mua một vé số.

a/ Tính xác suất để An trúng giải nhất.(ĐS: 1/10000)

b/ Tính xác suất để An trúng giải nhì.(ĐS:36/10000)

III/ Lời kết.

Các bài tập xác suất rất đa dạng và phong phú. Trên đây là một số kiến thức cơ bản của xác suất phổ thông và một số bài toán thường gặp trong xác suất đã được sắp xếp theo các dạng toán nhằm giúp học sinh dễ nhớ khi học và ôn tập.