Gia sư môn Toán

»

Gia sư toán lớp 10 thành phố Vinh - Bất đẳng thức

 BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Các mệnh đề dạng “a <  b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

     Ta còn gặp bất đẳng thức có dấu bằng: “a ³ b” hoặc “a £ b” (còn gọi là bất đẳng thức không ngặt)

     Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau.

2. Tính chất

II. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dùng định nghia và các tính chất

Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

    + Đưa về dạng A- B > 0

    + Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đúng.

    + Sử dụng một BĐT đúng, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh..

    + Biến đổi vế trái hoặc về phải

 Một số BĐT đúng thường dùng:          

i. A2 ³ 0               ii. A2 + B2  ³ 0               3i. A.B ³ 0 với A, B ³ 0.          4i. A2 + B2 ³ 2A.B

Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1. Chứng minh rằng:   với a, b cùng dấu (tức a.b > 0)

 

Bài 2. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca                       b. a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b

c. a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c)                        

Bài 3. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

   a. a4 + b4 + c2 + 1 ³ 2a(ab2 – a + c + 1)              

   c. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e)

Bài 4. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

                                               

Bài 5. Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng a2 + b2 ³ 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

Bài 6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu . Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau:

 a2 + b2 + c2 ³ 2(ab + bc – ca)

HD: BĐT đã cho  Û ( a- b + c)2 ³ 0

Bài 2. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 6abc

HD: BĐT đã cho  Û ( a – bc)2 + (b – ca)2 + (c – ab)2 ³ 0

Bài 3. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a4 + 3 ³ 4a                                                  

HD:  BĐT đã cho Û ( a -1)2(a2 + 2a + 3) ³ 0

Bài 4. Cho a, b, c Î R. Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

HD:  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ³ 0.

a. Khai triển, rút gọn, đưa về (1)                                          b, c. Vận dụng a

d. Sử dụng (1) hai lần                                                        e. Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

f. Sử dụng d)

 

BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Các mệnh đề dạng “a <  b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

     Ta còn gặp bất đẳng thức có dấu bằng: “a ³ b” hoặc “a £ b” (còn gọi là bất đẳng thức không ngặt)

     Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau.

2. Tính chất

II. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dùng định nghia và các tính chất

Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

    + Đưa về dạng A- B > 0

    + Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đúng.

    + Sử dụng một BĐT đúng, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh..

    + Biến đổi vế trái hoặc về phải

 Một số BĐT đúng thường dùng:          

i. A2 ³ 0               ii. A2 + B2  ³ 0               3i. A.B ³ 0 với A, B ³ 0.          4i. A2 + B2 ³ 2A.B

Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1. Chứng minh rằng:  với a, b cùng dấu (tức a.b > 0)

Bài 2. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca                       b. a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b

c. a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c)                        

Bài 3. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

   a. a4 + b4 + c2 + 1 ³ 2a(ab2 – a + c + 1)              

   c. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e)

Bài 4. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:                                             

Bài 5. Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng a2 + b2 ³ 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

Bài 6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu . Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau:

 a2 + b2 + c2 ³ 2(ab + bc – ca)

HD: BĐT đã cho  Û ( a- b + c)2 ³ 0

Bài 2. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 6abc

HD: BĐT đã cho  Û ( a – bc)2 + (b – ca)2 + (c – ab)2 ³ 0

Bài 3. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a4 + 3 ³ 4a                                                  

HD:  BĐT đã cho Û ( a -1)2(a2 + 2a + 3) ³ 0

Bài 4. Cho a, b, c Î R. Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

HD:  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ³ 0.

a. Khai triển, rút gọn, đưa về (1)                                          b, c. Vận dụng a

d. Sử dụng (1) hai lần                                                        e. Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

f. Sử dụng d)

TIN KHÁC

Video

Bản đồ