Gia sư môn Toán

»

Gia sư toan 11 tai tp Vinh - Tính liên tục của hàm số

 VĐ. Tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục

 I. Định nghĩa hàm số liên tục:

 *Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và _.

Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu .

*Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

 * Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đo ạn [a;b ] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và 

 Nhận xét : Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

 II.Các định lí.

1. Định lí 1.

 a/Hàm số đa thức lien tục trên toàn bộ tập số thực R.

 b/Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

2. Định lí 2.

Giả sử y=f(x) và y=g(x)là hai hàm số liên tục tại x₀.Khi đó :

a. Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x).g(x)cũng liên tục tại x₀

b. Hàm số  liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ¹ 0

3. Định lí 3.Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm  sao cho f(c)=0.

 Mệnh đề tương đương :

 Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a) .f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm 

4. Định lí 4.( định lí giá trị trung gian).

Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và  thì với số thực M nằm giữa f(a) và f(b) luôn tồn tại ít nhất một điểm .

VĐ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x₀ dựa vào định nghĩa.

 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 PHƯƠNG PHÁP :

 *Tính và so sánh với 

 *Trong trường hợp bên trái,bên phải x₀ hàm số được xác định bằng hai biểu thức khác nhau, để tìm 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1.Xét tính liên tục của hàm số:

Bài 2.Xét tính liên tục của hàm số:

Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số:

Bài 4. Cho hàm số :  a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x₀=1

Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=0 và x=3.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHI

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số:

Bài 3.

VĐ 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Phương pháp:

 Dùng định lí về sự liên tục của các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác.

 Nếu hàm số được cho bằng nhiều biểu thức khác nhau,cần nghiên cứu tính lien tục tại một điểm.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ Î K

Hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ nếu thỏa:

Xét tính liên tục của hàm số dạng : 

Xét tính liên tục của hàm số dạng : 

Hàm  số liên tục tại x=x₀ 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

Bài 2. Cho hàm số : . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.

Bài 3.Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.

Xét tính liên tục của hàm số

Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số

Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bai 1 -4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.

VĐ 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và 

Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa:

* Xét tính liên tục của hàm số dạng : 

Tìm. Hàm số liên tục tại x₀

* Xét tính liên tục của hàm số dạng : 

Hàm  số liên tục tại x=x₀ 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x=-1:

Bài 2. Tìm a để hàm số

Bài 3. Tìm m để hàm số

Bài 4. Tìm m để hàm số

Bài 5.Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

VĐ 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH f(x)=0 CÓ NGHIỆM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phương pháp:

 Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0.

 Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:

   - Các giá trị f(a), f(b) không chứa tham số, hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.

   - Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.

 *Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm,cần tìm được k cặp số a_i và b_i sao cho các khoảng (a_i;b_i) rời nhau, f(a_i).f(b_i) < 0 và hàm số

y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [a_i;b_i].

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x⁵-5x³-1=0.

Bài 2. CMR phương trình:2x³-5x²+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3. CMR phương trình: 3x³ + 2x – 5 = 0  có ít nhất một nghiệm.

Bài 4. CMR phương trình: 4x⁴ + 2x² – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).

Bài 5. CMR phương trình 2x³ – 6x + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn 

Bài 6. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

                     (m² - 4)(x - 1)⁶ + 5x² - 7x + 1=0

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình:

a. x⁵ + 7x⁴ – 3x² + x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.

b. cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm trong (-p/6; p)

c. x5 – 5x3 + 4x – 1 = 0     có năm nghiệm phân biệt

d. (m2 – 1)x5 – (11m2 – 10)x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)*

Bài 2. CMR các phương  sau luôn có nghiệm:

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x⁵ + 3x⁴ + 3x² – 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

b. 2x³ + 3x² + 10x + 200 = 0 luôn có nghiệm.

c. 4x⁴ + 2x² – x – 28 = 0 luôn có nghiệm

Thư viện tài liệu

Video

Bản đồ