Gia sư môn Toán

»

Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Hai mặt phẳng song song

VĐ1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD,AC cắt BD tại O.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SC,CD.Chứng minh (MNO) // (SAD).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng (IJK) // (BCD).

Bài 3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy  các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’.

a. Chứng minh (ADF) // (BCE)

b. Chứng minh M’N’ // DF.

c. Chứng minh (DEF) // (MM’N’N) và MN // (DEF)

Bài 4. Trong mặt phẳng (a) cho hình bình hành ABCD, Qua A, B, C lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (a). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ tùy ý

a .Xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mp(A’B’C’)

b. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Bài 5. Hai hình vuông ABCD và ABEF không nằm trong một mặt phẳng và có cạnh chung AB. Lần lượt láy trên hai đường chéo AC và BF hai điểm M, N sao cho AM = BN. Những đường thẳng song song với AB kẻ từ M và N lần lượt kẻ từ M và N lần lượt cắt AD tại M’ và AF tại N’.

a . Chứng minh hai mp (ADF) và (BCE) song song với nhau

b. Chứng minh rằng MN //(CDF)

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, E = ABÇCD, F=ADÇBC. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD tại I, J,K,L

a .Chứng minh nếu SE//(P) thì IJ//KL

b. Chứng minh IJKL là hình bình hành Û (P)//(SEF)

Bài 7. Trong mp(a) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (a) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mp(a’) cắt bốn nữa đường thẳng nối trên tại A’, B’, C’, D’

a .Chứng minh mp(AA’, BB’) //mp(CC’,DD’)

b. Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành

c. Chứng minh AA’+CC’=BB’+DD’

Bài Tập Đề Nghị

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: 

a. CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.

b. Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.

HD:

a. IJ song song với mp qua AB và song song CD.

b. Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các góc  đồng phẳng.

HD: Cùng nằm trong mặt phẳng qua A và song song với (BCD).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành khi và chỉ khi mặt phẳng (P) song song với mp (ABCD).

Hướng dẫn

Giả sử A’B’C’D’ là hình bình hành

Từ đó chứng minh: A’B’//(ABCD)

                                A’D’//(ABCD)

Þ (P) //(ABCD).

Þ Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Bài 4. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mp(ABCD). Một mặt phẳng (a) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứu tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’. Chứng minh rằng (Ax,By)//(Cz,Dt) và (Ax, Dt)//(By, Cz).

Hướng dẫn

Ta có: Ax// Dt,  Dt Ì(Cz, Dt)

Þ Ax// (Cz, Dt)

AB//CD,    CD Ì(Cz, Dt)

Þ AB//(Cz, Dt)

Từ Ax, AB Ì(Ax, By) Þ (Ax, By)//(Cz, Dt)

Tương tự ta có: (Ax, Dt)//(By, Cz)

VĐ2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHO BỞI QUAN HỆ SONG SONG CỦA 2 MẶT PHẲNG

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’,A’C’. Tìm thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với mặt phẳng (MNP)

Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.

a. Chứng minh CB’//mp(AHC’)

b. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh d // mp(BCC’B’)

c. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (H, d).

Bài 3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Một mp (a) chuyển động luôn luôn song song với cạnh BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của đoạn SC

a. Mp (a) cắt các cạnh SA, SB, SD lần lượt tại A’, B’, D’ . Thiết diện A’B’C’D’ là gì?

b. Chứng minh rằng mp(a) khi chuyển động như trên vẫn luôn luôn chứa một đường thẳng cố định.

c. Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ . Chứng minh rằng khi mp(a) thay đổi như trên thì M chạy trên một đường thẳng cố định.

Bài 4. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm tr6en hai cạnh AD và CC’ sao cho:   

a. Chứng minh: MN// (ACB’)

b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mp(ACB’)

Bài Tập Đề Nghị

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là điểm thuộc các cạnh SA, AB và BC sao cho IJ song song với SB.

a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b. Tìm giao điểm P của IK và mặt phẳng (SBD).

c.  Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJK) và hình chóp S.ABC.

Hướng dẫn

a. S Î(SAC)Ç(SBD)   

Trong (ABCD), O = AC ∩ BD

b. Trong (ABCD): AK∩BD = M

Trong (SAK): SM∩IK = P

SM Ì(SBD)

=> IK∩(SBD) = P.

c. IJ//SB,      IJ Ì(IJK)    ,    SB Ì(SBC)   ,       K Î(IJK)Ç(SBC)

Þ (IJK) Ç(SBC) = KH//IJ,  H ÎSC

Thiết diện là hình thang IJKH.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD). Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mp(SAB). Thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn

Chứng minh : MN//AB                    MF//SB

                       NE//SA                     EF//CD

Các điểm N, E, F là giao điểm của (P) với AD, SD, SC có tính chất EF//MN. Vậy thiết diện là hình thang MNEF.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, Q, R, S lần lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’

a. Chứng minh rằng RQ //(ABCD), (PQRS)//(ABCD)

b. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (AQR)

Hướng dẫn

a. Cần chứng minh: QR//(ABCD)

                                 PQ //(ABCD)

Þ (PQR) //(ABCD)

b. Ta có: QR//(ABCD)

Þ (AQR) cắt mp(ABCD) theo một giao tuyến song song với BD

Giao tuyến này cắt CD tại N. Nối N với R cắt DD’ và CC’ lần lượt tại E và M. Nối M với Q cắt BB’ tại F. Dễ thấy thiết diện là hình bình hành AEMF.

Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trên AB, CC’, C’D’, AA’ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = C’N = C’P = AQ.

a. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định.

b. Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì?

Hướng dẫn

a. MP và NQ cắt nhau tại tâm O của hình lập phương.

b. Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O. 

Thư viện tài liệu

Video

Bản đồ