Gia sư môn Toán

»

Gia su toan 10 tai Vinh - Phương trinh dương tron

 BÀI 7. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

 

1. Phương trình đường tròn

Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R có phương trình là:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2    (1)

hay:      x2 + y2- 2ax - 2by + c = 0          (2)

với c = a2 + b2- R2

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính 
 .                    

Ghi chú:

1.  Trong phương trình (2):

Hệ sốc = a2 + b2- R2Û R2 = a2 + b2- c ³ 0, đây là điều kiện giữa các hệ số a, b, c để (2) là phương trình của một đường tròn tâm I(a, b) bán kính R.

2. Phương trình đường tròn có những đặc điểm:

- Là phương trình bậc hai đối với x và y.

- Các hệ số của x2 và y2 bằng nhau.

- Không chứa thừa số xy.

Thí dụ: Phương trình của đường tròn (C) tâm I(3, -2) bán kính R = 5 là:

 (x - 3)2 + (y + 2)2 = 52Û  x2 + y2- 6x + 4y - 12 = 0
Những trường hợp đặc biệt:

Trường hợp 1. Đường tròn có tâm là gốc tọa độ:

Trong trường hợp này ta có: 
a = b = 0. Phương trình (1) trở thành:   x2 + y2 = R2

Trường hợp 2. Đường tròn đi qua gốc tọa độ:

Trong trường hợp này ta có:  R2 = a2 + b2

Þ  c  = a2 + b2- R2 = 0

Phương trình (2) có thể viết:  x2 + y2- 2ax - 2by = 0

Đây là đường tròn đi qua gốc tọa độ bán kính:  

Trường hợp 3. Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ:

- Tiếp xúc với trục hoành:

Khi đường tròn (C) tâm I(a, b) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(a, 0), ta có bán kính R =

Phương trình (1) có dạng:

(x - a)2 + (y - b)2- b2 = 0

Û  x2 + y2- 2ax - 2by + a2  = 0

Û  (x - a)2 + y2- 2by = 0

- Tiếp xúc với trục tung:

Tương tự, khi đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy tại B(b, 0), ta có phương trình:

x2 + y2- 2by + b2 = 0

Û x2 + (y - b)2- 2ax = 0

Trường hợp 4.  Đường tròn xác định bởi một đường kính:

- Tâm I là trung điểm của AB.

- Bán kính .

BÀI 9. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN (P1)

Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâmI (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

                                                (x – a)2 + (y – b)2 = R2.

            Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.

                                    – Bán kính R = IA.

            Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với các trục tọa độ

                                    – Tâm I có một tọa độ bằng 0.

            Dạng 3: (C) có đường kính AB.

                                    – Tâm I là trung điểm của AB.

                                    – Bán kính  .

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)

a. I(2; 4), A(–1; 3)                                                 b. I(–3; 2), A(1; –1)

Bài 2. Tìm phương trình của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(3, 2).

Bài 3. Tìm phương trình của đường tròn có tâm I(4, 2) và tiếp xúc với trục Ox.

Bài 4. Tìm phương trình của đường tròn có tâm I(-5, -2) và tiếp xúc với trục Oy.

Bài 5. Viết phương trình đường tròn tâm I(2, 3) và đi qua gốc tọa độ O.

Bài 6. Viết phương trình đường tròn đường kính AB với: A(2, 3); B(4, 7).

Dạng 4: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).

Cách 1:

- Phương trình của (C) có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (*).

- Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.

- Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c Þ phương trình của (C).  

Cách 2:

- Tâm I của (C) thoả mãn: .

- Bán kính R = IA = IB = IC.

Bài 7. Tìm phương trình của đường tròn qua ba điểm A(2, 0); B(0, 1); C(-1, 2)

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với:

a. I(–1; 0), A(3; –11)                                                  b.  I(1; 2), A(5; 2)

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng D, với:

Bài 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với:

a. A(0; 1), C(5; 1)                                                       b. A(–3; 4), B(7; 2)

Bài 4. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với:

a. A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)                                      b. A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1)

BÀI 10. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, ta có thể thực hiện như sau:.

  • Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. 

– Xác định tâm I và bán kính R của (C).

– Tính khoảng cách từ I đến d.

  • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Khảo sát vị trí tương đối giữa đường tròn (C): x2 + y2+ 6x + 4y + 9 = 0

và đường thẳng            (D) º x - y + 2 = 0.

Bài 2. Cho đường tròn (C): x2 + y2- 2x + 4/5 = 0 và đường thẳng di động (Dm): mx - y - 2m + 3 = 0. Biện luận theo m vị trí tương đối giữa (C) và (Dm).

Bài 3. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với:

d: x + y – 1 = 0,     (C): x2 + y2 – 2(2m + 1)x – 4y + 4 – m = 0

Bài 4. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm A(–1; 0) và có hệ số góc k

a. Viết phương trình đường thẳng d.

b. Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C).

c. Suy ra phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A.

Bài 5.  Cho đường thẳng d và đường tròn (C): chứng tỏ d cắt (C) và tìm toạ độ các giao điểm của d và (C).

a. d đi qua M(–1; 5) và có hệ số góc k = -1/3, (C): x2 + y2 – 6x – 4y + 8 = 0

b. d: 3x – y – 10 = 0, (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C), với:

a. d: 2x – y + m = 0, (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0

b. d: mx + y – 4m = 0, (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0

Bài 2. Cho đường thẳng d và đường tròn (C): chứng tỏ d cắt (C) và tìm toạ độ các giao điểm của d và (C).

 

d: 3x – y – 10 = 0, (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

BÀI 11. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0(x0, y0) thuộc đường tròn.

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ.

- Nếu phương trình đường tròn là:

x2 + y2- 2ax - 2by + c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là:  xx0 + yy0- a(x + x0) - b(y + y0) + c = 0

- Nếu phương trình đường tròn là:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến là:

(x - a)(x0- a) + (y - b)(y0- b) = R2 (h.73)

 Dạng 2:Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I(x0, y0)  cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường  qua I(x0, y0):

y - y0 = m(x - x0)    mx - y - mx0 + y0 = 0        (1)

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới  bằng R, ta tính được m; thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. (h. 74)

  Dạng 3: Tiếp tuyến  song song với một phương cho sẵn có hệ số góc k.

Phương trình của  có dạng:

y = kx + m (m chưa biết)    kx - y + m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến (D) bằng R, ta tìm được m.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến (h.75)
                                               
                                                 

II. BÀI  TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Kiểm lại rằng điểm M0(1, -2) ở trên đường (C) có phương trình:

x2 + y2- 10x + 4y + 13 = 0. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0.

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x2 + y2- 4x - 3y = 0 phát xuất từ A(-3, -1).

Bài 3. Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2- 6x + 2y + 5 = 0. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm.

Bài 4. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.

(C): x2 + y2 + 4x – 8y + 10 = 0,  A(2; 2),    d: x + 2y – 6 = 0

a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Bài 5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2my + m2 + 4 = 0.

a. Tìm m để từ A(2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C).

b. Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m = 6.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d:

(C): x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0,   d: 2x – y + 3 = 0

a. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Bài 2. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.

(C): x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0,        A(-7; 7),          d: 3x + 4y – 6 = 0

a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Bài 3. Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng d: y = -3 – 3x

a. Viết phương trình các đường tròn (C1) và (C2) qua A, B và tiếp xúc với d.

 

b. Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó.

BÀI 11. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

I. TÓM TẮT LÝ  THUYẾT

Để biện luận số giao điểm của  hai đường tròn

(C1): x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0,       (C2): x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0

ta có thể thực hiện như sau:

  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2.

      

     Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình:

      

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn:

x2 + y2- 2x + 4y - 1 = 0  (C1)       (1)

x2 + y2 + 4x + 10y - 7 = 0 (C2)    (2) 

Bài 2. Chứng tỏ rằng hai đường tròn sau đây tiếp xúc nhau:

x2 + y2- 4x - 6y + 4 = 0       (C)

x2 + y2- 10x - 14y + 70 = 0 (C’)

Bài 3. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, nếu có, với:

(C1): x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0,     (C2): x2 + y2 – 10x – 14y + 70 = 0

Bài 4. Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2), với:

(C1): x2 + y2 – 6x – 2my + m2 + 4 = 0,     (C2): x2 + y2 – 2mx – 2(m + 1)y + m2 + 4 = 0

Bài 5. Cho hai điểm A(8; 0), B(0; 6).

a. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

c. Chứng minh rằng hai đường tròn trên tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, nếu có, với:

(C1): x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0,     (C2): x2 + y2 – 10x – 14y + 70 = 0

Bài 2. Biện luận số giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2), với:

(C1): x2 + y2 + 4mx – 2my + 2m + 3 = 0,     (C2): x2 + y2 + 4(m + 1)x – 2my + 6m - 1 = 0

Bài 3. Cho hai điểm A(8; 0), B(0; 6).

a. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

 

c. Chứng minh rằng hai đường tròn trên tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm.

TIN KHÁC

Video

Bản đồ