Gia sư môn Toán

»

Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Vec tơ phần 1

 Các Định Nghĩa Liên Quan Vectơ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Các định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là  .

Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu  .

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu  .

Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý:   + Ta còn sử dụng kí hiệu   để biểu diễn vectơ.

             + Qui ước: Vectơ  cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

                Mọi vectơ  đều bằng nhau.

Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

   M là trung điểm của đoạn thẳng   (O tuỳ ý).

Hệ thức trọng tâm tam giác:

   G là trọng tâm  (O tuỳ ý).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

VĐ1. Xác định vectơ

B1. (B1-SGK). Cho 3 vectơ  đều khác vectơ , các khẳng định sau đúng hay sau:

a. Nếu  cùng phương với  cùng phương

b. Nếu  cùng ngược hướng với  cùng phương

B2. Cho tam ABC.Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.

B3. Cho tứ giác ABCD.Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

B4. Cho DABC có A¢, B¢, C¢ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh:  .

b) Tìm các vectơ bằng  .

B5. Cho tam giác ABC, xác định vectơ có điểm đầu là A và vectơ ấy cùng phương với cả 2 vectơ  và 

B6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm BC và CD

a) Xác định vectơ có điểm đầu là E, có độ dài bằng BD/2 và cùng hướng với 

b) Dựng vectơ có điểm cuối là O, có giá là đường thẳng AC, có độ dài là và ngược hướng với AC.

c) CMR nếu FK có độ dài là và ngược hướng với  thì K thuộc đường thẳng AD.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.Cho ngũ giác ABCDE. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác  ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D, E ?

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Tìm các vecto từ 5 điểm A, B, C, D, O

a. bằng vecto 

b. có độ dài bằng 

CHỨNG MINH HAI VECTO BẰNG NHAU, HAI VECTO CÙNG PHƯƠNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi có độ dài bằng nhau và cùng hướng

Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi có giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

B1. (B2 –SGK) Trong hình vẽ dưới đây hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau

B2. (B3-SGK) CMR tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 

B3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: 

B4. (B4-SGK). Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a. Tìm các vectơ cùng phương với 

b. Tìm các vectơ bằng 

B5. Cho tam giác ABC.E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của B qua F và của C qua E.CMR các vectơ  cùng phương.

B6. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng.Trong trường hợp nào thì và cùng hướng?Trong trường hợp nào thì  ngược hướng?

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O. Hãy liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

Bài 2: cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh: 

Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O là tâm đưởng tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng qua O. Chứng minh: 

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Dựng . Chứng minh rằng: 

TỔNG CỦA HAI VECTO

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho 2 vécto  . Lấy 1 điểm A nào đó rổi xác định các điểm B và C sao cho  . Khi đó vecto  được gọi là tổng của hai vecto . Ký hiệu  .

Phép lấy tổng của hai vecto được gọi là  phép cộng vecto.

+  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: .

+  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: .

+  Tính chất:

II. PP GIẢI BÀI TẬP

Dạng toán: Xác định vectơ tổng của 2 vectơ

PP: Dùng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành

B1 (B1-SGK).Cho hai vectơ  và cùng phương. Xác định 

B2. Cho ba vectơ  . Hãy dựng vectơ m thỏa 

B3. Cho 4 điểm bất kỳ M, N, P, Q. Hãy xác định vectơ tổng của:

a. PQ + NQ + MN

b. NP + MN  + QM + PQ

B4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy tìm vectơ tổng sau:

a. AB + AD

b. AB + OA

c. AB + CD

d. OA + OC

e. OA + OB + OC + OD

B5.

a. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng  AB. 

b. Gọi G là trọng tâm  

B6. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

a. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho
OM = OA + OB; ON = OB + OC; OP = OC + OA

b. CMR OA + OB + OC = 0

B7. Các hệ thức sau đây đúng hay sai 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: 

2. Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng 

3. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. 

4. Cho tam giác ABC. Lấy E, F sao cho

HIỆU CỦA HAI VECTO

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Vectơ đối của  là vectơ  sao cho . Kí hiệu vectơ đối của .
• Vectơ đối của .

Định nghĩa hiệu của 2 vectơ:

Hiệu của hai vecto , ký hiệu  , là tổng của vecto  và vecto đối của vecto , tức là 

Phép lấy hiệu cuả 2 vecto gọi là phép trừ vecto.

Qui tắc ba điểm: với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: .

II. PP GIẢI BÀI TẬP

Dạng toán. Xác định hiệu của 2 vectơ

B1. Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

B2. Cho hai điểm A, B phân biệt

a. Tìm tập hợp điểm O sao cho 

b. Tìm tập hợp điểm O sao cho 

B3. (B1-SGK).Cho hai vectơ  và cùng phương. Xác định 

B4. Cho ba vectơ  . Hãy dựng vectơ m thỏa .

B5. Cho hình bình hành ABCD. CMR                                                            

B6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kỳ. CMR: 

 (đpcm)

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

B1.Cho tứ giác ABCD. Tìm các vectơ sau:

a. AB – AD + DC – DB

b. BA – BC + CD – CA

B2. CMR:   khi và chỉ khi trung điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỘ DÀI VECTO

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

PP: Độ dài của vectơ là khoảng cách điểm đầu và điểm cuối, hay độ dài đoạn thẳng đó.

II. PP GIẢI BÀI TẬP

B1. Cho hai véctơ  . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: .

B2. Cho DABC đều cạnh a. Tính 

B3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 

B4. Cho DABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ 

B5. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ  .

B6. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:

a. 

b.  Nếu  thì ABCD là hình chữ nhật.

B7. Cho hình thoi ABCD có BAD = 60 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

B1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12

a. Tính |AB + AC|            

b.  |AB – AC|

B2. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Kẻ đường cao AH

a. Xác định vectơ AB + AC. |AB + AC| theo a

b. Xác định vectơ AH + BH. |AH + BH| theo a

c. Xác định vectơ AB - BC. |AB - BC| theo a

TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tích của một vectơ với một số

Cho vectơ   và số k Î R.  là một vectơ được xác định như sau:

    + ngược hướng với  nếu k < 0.

    +  .

Tính chất:

Điều kiện để hai vectơ cùng phương:  

Điều kiện ba điểm thẳng hàng: 

Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương  tuỳ ý. Khi  đó .

II. PP GIẢI BÀI TẬP

B1: CMR  I là trung điểm đoạn AB khi và chỉ khi với điểm M bất kỳ, ta có:

B2: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với M bất kỳ ta có:.

B3.Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt có các trọng tâm là G và G¢.

a. Chứng minh  .

b. Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.

B4.  Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho   . CMR hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

B5. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của EF. M là một điểm tùy ý. CMR:

B6. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trên cạnh BC lấy điểm A’ sao cho:

B7: Cho tam giác ABC vuông tai A có Ab = 3a, AC = 4a. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Ta đặt 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

B1: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3 CM, trên đoạn Am lấy N sao cho 2AN = 5MN. 
Đặt 

a. Phân tích các vecto 

b. Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính 

B2: Cho tam giác ABC trọng tâm G, Gọi I là trung điểm đoạn AG và K là trung điểm trên cạnh AB sao cho AK = 0,2 AB. Hãy phân tích 

B3: Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trên cạnh BC. CMR 

Thư viện tài liệu

Video

Bản đồ