Gia sư môn Toán

»

Gia sư toán lớp 11 - Giới hạn dãy số

LÝ THUYẾT VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn.             

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực,nếu  có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu 

*Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi   nếu  lim(un-a)=0

Kí hiệu :limun=a  hay 

2. Định nghĩa giới hạn vô cực.

 *Dãy số (un) được gọi là có giới hạn  + khi ,nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu .

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn 

 Kí hiệu: .

3.Các giới hạn đặc biệt.

a.  với k là số nguyên dương.

b. 

c. limc =c (clà hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn.

    Định lí 1.

a.nếu limun=a và limvn=b,thì:

          

b. Nếu

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

    Định lí 2.

a.

b.

c.

6.Cấp số nhân lùi vô hạn.

*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn 

*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn:    

VĐ1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ ĐA THỨC- PHÂN THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Các giới hạn đặc biệt.

a. ;.

b. ;

c. limc=c (clà hằng số).

d. với k là số nguyên dương

e. .

*Nếu biểu thức có dạng phân thức, ta thường chia tử số và mẫu số cho nk,trong đó k là số mũ cao nhất của n(hoặc qn với q là số lớn nhất có luỹ thừa n)

*Nếu biểu thức không có dạng trên,tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau:

    + Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.

    + Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa về dạng phân thức,khi biểu thức chứa biến n dưới dấu căn.

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

a. lim (-2n3 – 5n + 9)                        b. lim (8n – 3n3 + 1)

c. lim (6n4 – n + 1)                           d. lim (2 – 3n + 7n2)

Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

a. lim(2n3+3n-1)

b.

c. 

d. lim (3n2 – 3n – 3)

Bài 3

a. Tính 

b. Tính 

c.Tính 

Bài 4

Bài 5   

Bài 6   

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tìm giới hạn 

Đs : 5/3

Bài 2. Tìm 

Đs : 2/3

Bài 3. Tìm 

Đs : 0

Bài 4. Tính 

Đs : -1

Bài 5: 

Bài 6: 

Bài 7: 

Bài 8. 

VĐ2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 

Các giới hạn đặc biệt.

a. ;.

b. ;

c. limc=c (clà hằng số).

d. với k là số nguyên dương

e. .

Các hằng đẳng thức thường sử dụng.

Nhân lượng liên hợp: dùng các hằng đẳng thức

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính 

Bài 2 : Tính  
 

Bài 3. Tính 

Bài 4. Tính 

Bài 5. Tính
              

Bài 6. Tính 

Bài 7. Tính
 

Bài 8. 

Bài 9. 

Bài 10. 

Bài 11. 

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. 

Bài 2. 

Bài 3. 

Bài 4. 

Bài 5. 

Bài 6. 

VĐ3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BẰNG ĐỊNH LÝ KẸP

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Các giới hạn đặc biệt.

a. ;.

b. ;

c. limc=c (clà hằng số).

d. với k là số nguyên dương

e. .

 

Định lý kẹp:

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính  

Bài 2. Tính                           

 

Bài 3. Tính  

Bài 4. Tính  

Bài 5. Tính 

Bài 6. Tính 

Bài 7. Tính 

Bài 8. Tính 

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Tìm các giới hạn sau (Bài 1 đến bài 7)

Bài 1. 

Bài 2. 

Bài 3. 

Bài 4. 

Bài 5.  

Bài 6. 

Bài 7. 

VĐ4: TÍNH TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN, TỔNG VÔ HẠN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Cấp  số nhân (un) có công bội là q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q, khi đó :

PP giải toán : Chứng minh dãy số tương ứng là một cấp số nhân lùi vô hạn (nếu bài toán chưa cho giả thiết này). Sau đó tính tổng bằng công thức :

                        

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn sau :

Bài 2. Tính tổng 

Bài 3. Tính 

Bài 4. Tính 

Bài 5. Tính 

Bài 6. 

Bài 7. Tính B=cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx+...  

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tính 

Bài 2.Tính các tổng sau:

TIN KHÁC

Video

Bản đồ