Gia sư toán 11 tại Vinh - Phép biến hình phần 1

Gia sư môn Toán

»

Gia sư toán 11 tại Vinh - Phép biến hình phần 1

BÀI. PHÉP BIẾN HÌNH (TIẾT 1)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phép biến hình:
Định nghĩa:  Phép biến hình là 1 quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó.
Kí hiệu: phép biến hình f.
M’ = f(M)
M: tạo ảnh (gốc)
M’: ảnh.

  tạo thành 1 hình H’ được gọi là ảnh của H
qua phép biến hình f
Ký hiệu: H’ = f(H)
Chú ý: Mỗi điểm M chỉ có duy nhất 1 ảnh M’.
Có thể có nhiều điểm khác nhau cho chung 1 ảnh.
Phép biến hình:
+ Không thay đổi khoảng cách.
+ Có thể thay đổi khoảng cách.
2. Phép dời hình:
Định nghĩa: phép dời hình là 1 phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Tức là, với 2 điểm M, N và ảnh cảu chúng M’, N’ ta luôn có: M’N’ = MN
Tính chất của phép dời hình
Ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng cùng thứ tự
Đường thẳng  ® đường thẳng.
Đoạn thẳng ® đoạn thẳng bằng chính nó.
Tia thành tia
Tam giác ® tam giác bằng chính nó.
Góc thành góc bằng chính nó
Đường tròn ® đường tròn cùng bán kính.
3. Phép biến hình hợp:
Thực hiện 2 phép biến hình liên tiếp ta được một phép biến hình gọi là hợp thành của 2 phép biến hình.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
VĐ 1: Một quy tắc đặt trong mặt phẳng là 1 phép biến hình
Phương pháp: Dựa vào định nghĩa (không phân loại)
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình biến một điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) sao cho . Tìm
ảnh của các điểm sau:
a. A(1; 2)                       b. B(-1; 2)                          c. C(2; 0)
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình: f: M(x; y) ® M’ = f’(M) = (x + 1; y – 2)
a . Tìm ảnh của A(0; 2) ; B(3; -1)
b. Chứng minh rằng: f là 1 phép dời hình.
Bài 3. Chứng minh rằng phép biến hình của (B2) không phải là phép dời hình.
Bài 4. Cho điểm O. Với mỗi điểm M ta dựng điểm M’ sao cho OM’ = 2OM. Quy tắc đặt mỗi điểm M với M’ như trên
có phải là phép biến hình không?
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f thỏa f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (3x; y + 1). Tìm ảnh của
a. A(0; 1)                    b. B(2; 2)                      c. C(-2; 1).
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.  Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: .
Tìm ảnh của các điểm sau: a. A(1; 2)                 b. B(-1; 2)                    c. C(2; -4).
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (-2x; y + 1). Tìm ảnh của đường thẳng (D): x – 3y – 2 = 0 qua phép biến hình f.
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (x + 3; y + 1)
a. Chứng minh rằng f là phép biến hình.
b. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)² + ( y -2)² = 4.
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (x/2 ; -3y). Khẳng định nào sau đây sai?

BÀI. PHÉP BIẾN HÌNH (TIẾT 2)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phép biến hình:
Định nghĩa:  Phép biến hình là 1 quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó.
Kí hiệu: phép biến hình f.
M’ = f(M)
M: tạo ảnh (gốc)
M’: ảnh.

  tạo thành 1 hình H’ được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f
Ký hiệu: H’ = f(H)
Chú ý: Mỗi điểm M chỉ có duy nhất 1 ảnh M’.
Có thể có nhiều điểm khác nhau cho chung 1 ảnh.
Phép biến hình:
+ Không thay đổi khoảng cách.
+ Có thể thay đổi khoảng cách.
2. Phép dời hình:
Định nghĩa: phép dời hình là 1 phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Tức là, với 2 điểm M, N và ảnh cảu chúng M’, N’ ta luôn có: M’N’ = MN
Tính chất của phép dời hình
Ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng cùng thứ tự
Đường thẳng  ® đường thẳng.
Đoạn thẳng ® đoạn thẳng bằng chính nó.
Tia thành tia
Tam giác ® tam giác bằng chính nó.
Góc thành góc bằng chính nó
Đường tròn ® đường tròn cùng bán kính.
3. Phép biến hình hợp:
Thực hiện 2 phép biến hình liên tiếp ta được một phép biến hình gọi là hợp thành của 2 phép biến hình.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
VĐ 1: Một quy tắc đặt trong mặt phẳng là 1 phép biến hình
Phương pháp: Dựa vào định nghĩa (không phân loại)
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình biến một điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) sao cho:

Tìm ảnh của các điểm sau:
a. A(1; 2)                       b. B(-1; 2)                          c. C(2; 0)
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình: f: M(x; y) ® M’ = f’(M) = (x + 1; y – 2)
a . Tìm ảnh của A(0; 2) ; B(3; -1)
b. Chứng minh rằng: f là 1 phép dời hình.
Bài 3. Chứng minh rằng phép biến hình của (B2) không phải là phép dời hình.
Bài 4. Cho điểm O. Với mỗi điểm M ta dựng điểm M’ sao cho OM’ = 2OM. Quy tắc đặt mỗi điểm M với M’ như trên có phải là phép biến hình không?
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f thỏa f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (3x; y + 1). Tìm ảnh của
a. A(0; 1)                    b. B(2; 2)                      c. C(-2; 1).
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.  Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: .
Tìm ảnh của các điểm sau: a. A(1; 2)                 b. B(-1; 2)                    c. C(2; -4).
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (-2x; y + 1). Tìm ảnh của đường thẳng
(D): x – 3y – 2 = 0 qua phép biến hình f.
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (x + 3; y + 1)
a. Chứng minh rằng f là phép biến hình.
b. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)² + ( y -2)² = 4.
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (x/2 ; -3y). Khẳng định nào sau đây sai?

BÀI . PHÉP TỊNH TIẾN (TIẾT 1)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:

2. Tính chất
+ Phép tịnh tiến là một phép dời hình => có đầy đủ tính chất của phép dời hình.
+ Phép tịnh tiến theo vecto chính là phép đồng nhất.
3. Biểu thức tọa độ

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
B1. (B2-SGK) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ  biến D thành A.
B2. (B4-SGK) Cho 2 đường thẳng a và b song song với nhau.Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
B3.Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF.
B4. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến vT trong các trườnghợp sau:

B5. Tìm toạ độ vectơ  sao cho phép tịnh tiến theo vecto  biến M thành M’ trong các trường hợp sau:
a . M(-10; 1), M’ = (3; 8)                  b . M(-5; 2) , M’ = (4; -3)                       c . M(-1; 2), M’(4; 5)
d. . M(0; 0), M’ = (-3; 4)                  e . M(5; -2), M’ = (2; 6)                          f . M(2; 3), M’ = (4; -5)
B6. (B3-SGK) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto _,hai điếm A(3;5) và B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0.
a. Tìm tọa độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là hình chiếu của C qua phép tịnh tiến theo
c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
B7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  . Tìm các ảnh của các hình sau qua phép tịnh tiến theo :
a. Các đường thẳng : (d₁) : x + 2y – 3 = 0
   (d₂): 4x + 3y + 5 = 0
b. Các đường tròn: (C₁) : (x – 3)² + (y + 2)² = 16
   (C₂): x² + y² – 4x + 2y - 4 = 0
c. Parabol: (P) : y = 3x².
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy. Tìm ảnh của M’ của điểm M(3; -2) qua phép tịnh tiến theo vecto .
Bài 2:  Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tịnh tiến theo vecto :

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (x + 1; y -2)
  a . Chứng minh rằng f là phép dời hình.
  b . Tìm ảnh của đường thẳng (D): x – 2y + 3 = 0
  c. Tìm ảnh của đường tròn (C ): (x + 3)² + (y -1)² = 2.
  d. Tìm ảnh của parabol (P): y² = 4x
Bài 4. Hai bến xe A và B nằm trên hai phía của một con sông . Hai bờ sông biểu thị bằng hai đường thẳng song song . Người ta xây một cây cầu CD bắc qua sông vuông góc với hai bờ sông ( C nằm ở bờ có bến xe A) . Hỏi phải xây cầu ở vị trí nào để đoạn đường gấp khúc ACDB là ngắn nhất?

BÀI . PHÉP TỊNH TIẾN (TIẾT 2)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:

2. Tính chất
+ Phép tịnh tiến là một phép dời hình => có đầy đủ tính chất của phép dời hình.
+ Phép tịnh tiến theo vecto chính là phép đồng nhất.
3. Biểu thức tọa độ

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
B1. (B2-SGK) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ  biến D thành A.
B2. (B4-SGK) Cho 2 đường thẳng a và b song song với nhau.Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
B3.Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF.
B4. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến vT trong các trườnghợp sau:

B5. Tìm toạ độ vectơ  sao cho phép tịnh tiến theo vecto  biến M thành M’ trong các trường hợp sau:
a . M(-10; 1), M’ = (3; 8)                  b . M(-5; 2) , M’ = (4; -3)                       c . M(-1; 2), M’(4; 5)
d. . M(0; 0), M’ = (-3; 4)                  e . M(5; -2), M’ = (2; 6)                          f . M(2; 3), M’ = (4; -5)
B6. (B3-SGK) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto _,hai điếm A(3;5) và B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0.
a. Tìm tọa độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là hình chiếu của C qua phép tịnh tiến theo
c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo
B7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  . Tìm các ảnh của các hình sau qua phép tịnh tiến theo :
a. Các đường thẳng : (d₁) : x + 2y – 3 = 0
   (d₂): 4x + 3y + 5 = 0
b. Các đường tròn: (C₁) : (x – 3)² + (y + 2)² = 16
   (C₂): x² + y² – 4x + 2y - 4 = 0
c. Parabol: (P) : y = 3x².
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy. Tìm ảnh của M’ của điểm M(3; -2) qua phép tịnh tiến theo vecto .
Bài 2:  Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tịnh tiến theo vecto :

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình f: M(x; y) ® M’ = f(M) = (x + 1; y -2)
a . Chứng minh rằng f là phép dời hình.
b . Tìm ảnh của đường thẳng (D): x – 2y + 3 = 0
c. Tìm ảnh của đường tròn (C ): (x + 3)² + (y -1)² = 2.
d. Tìm ảnh của parabol (P): y² = 4x
Bài 4. Hai bến xe A và B nằm trên hai phía của một con sông . Hai bờ sông biểu thị bằng hai đường thẳng song song . Người ta xây một cây cầu CD bắc qua sông vuông góc với hai bờ sông ( C nằm ở bờ có bến xe A) . Hỏi phải xây cầu ở vị trí nào để đoạn đường gấp khúc ACDB là ngắn nhất?