Bài 6. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O), điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

BÀI . PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC (TIẾT 2)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua d
Phép đối xứng qua đường thẳng d được gọi là phép đối xứng trục. Ký hiệu Đ_d
Ví dụ: Phép đối xứng trục d biến M thành M’, ký hiệu: M’ = Đ_d(M)
2. Tính chất:
 + Phép đối xứng trục là phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình

( với M₀ là hình chiếu của M lên d)
+ d là trục đối xứng của hình (H) khi và chỉ khi Đ_d(H) = H
3. Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi đó:

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài 1 (B3-SGK) . Trong các chữ cái sau, chữ nào có trục đối xứng:
V I E T N A M W O
Bài 2 (B1- SGK). Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng qua phép
đối xứng trục Ox.
Bài 3 (B2-SGK).Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0.Viết phương trình của
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 4. Tìm  ảnh  của  các  điểm và đường thẳng sau  qua  phép  đối  xứng  trục  Oy:
a. Các điểm A(2;  3),  B(–2;  3),  C(0;  6),  D(4;  –3).
b. Đường thẳng a: x – 2 = 0,
     Đường thẳng b: y – 3 = 0,
     Đường thẳng c: 2x + y – 4 = 0,
     Đường thẳng d: x + y – 1 = 0
Bài 5.Tìm  ảnh  của  các  đường tròn, đường elip, Parabol sau qua trục Ox:
Bài 6. Tìm ảnh  của  các  đường tròn, đường elip, Parabol sau qua trục Oy:
a. Đường tròn: x² + y² + 2x – 4y – 11 = 0
b. Elip: x² + 4y² = 1  
c. Elip: 9x² + 16y² = 144
d. Parabol  x² = 4y
e. Parabol  y = x²
Bài 7: Tìm ảnh của điểm A(2; 4) và đường thẳng a: y = 2x  qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
Bài 8.
a. Cho  đường  thẳng  d  và  hai  điểm  A,  B  nằm  về  một  phía  của  d.  Tìm  trên  d  một  điểm  M sao cho tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất.
b. Giải bài toán này trong trường hợp A, B nằm về hai phía của d.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Xét 2 phép đối xứng trục Đ_a và Đ_b:  . Khẳng định nào sau đây không sai?

A .A, B, C Î đường tròn (O, R =OC)

B . Tứ giác OABC nội tiếp

C. DABC cân ở B

D. DABC vuông ở B.

Đáp án: A

Bài 2. Gọi d là phân giác trong tại A của DABC, B’ là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ_d . Khẳng định nào sau đây sai?

A .Nếu AB < AC thì B’ thì B’ ở trên cạnh AC

B .B’ là trung điểm cạnh AC

C .Nếu AB = AC thì B º C

D .Nếu B’ là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB

Đáp án: B

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-3; 2), đường thẳng (D): x + 3y – 8 = 0, đường tròn (C ): (x + 3)² + (y + 2)²= 4. Tìm ảnh của M, (D) và (C ) qua phép đối xứng trục (a) : x – 2y + 2 = 0

Đáp án:

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng (D): 3x + 2y – 6 = 0, đường tròn (C ): (x + 1)² + (y -2)²= 9. Tìm ảnh của M, (D) và (C ) qua phép đối xứng trục (a): 2x – y + 1 = 0

Đáp án

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (a): 2x – y – 3 = 0, (D): x – 3y + 11 = 0, (C) x² + y²- 10x – 4y + 27 = 0

a . Viết biểu thức giải thích của phép đối xứng trục Đ_a.

b. Tìm ảnh của điểm M(4; -1) qua Đ_a.

c .Tìm ảnh: (D’) = Đ_a(D), (C’) = Đ_a(C ).

Đáp án:

Bài 6. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O), điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

Bài .PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Cho điểm I. Phép biến hình biến điêm M thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
Khi M trùng tâm I, thì phép đối xứng tâm biến I thành chính nó.
I được gọi là tâm, ký hiệu Đ_I.

2. Tính chất
+ Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình
+ M’ là ảnh qua phép đối xứng tâm I của M <=> M là ảnh của M’ qua phép đối xứng tâm I
+ I là tâm của hình H <=>Đ_I(H) = H
3. Biểu thức tọa độ:

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. (B2&3-SGK) Trong các trường hợp sau đây, trường hợp nào có tâm đối xứng:
a. Các chữ cái: H, A, N, O, I, K, M
b. Hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều
c. đường thẳng d, hình gồm hai đường thẳng cắt nhau, hình gồm hai đường thẳng song song, hình gồm hai đường tròn bằng nhau.
d. Hãy tìm một hình có vô số tâm đối xứng
Bài 2. (B1-SGK). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình: x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O
Bài 3.Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I :
a. A( 2;3) , I(1;2)
b. B(3;1) , I( 1;2)
c. C(2;4) , I(3;1)
Bài 4. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I:
a. d: x + 2y + 5 = 0, I(2; -1)                                                                                       
b. d: x - 2y – 3 = 0I(1; 0)
c. d: 3x +  2y – 1 =  0, I(2; -3)
Bài 5. Tìm ảnh của các đường tròn và parabol, elip sau qua phép đối xứng tâm I
( C): x² + (y – 2)² = 1,  E(2; 1)
( C): x² + y² + 4x + 2y = 0,  F(1; 0)
( P) : y = 2x² – x + 3, tâm O(0; 0)
Bài 6. Tìm ảnh của các parabol, elip sau qua phép đối xứng tâm I

Bài 7. Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm của? ABC và H' là điểm sao cho HBH'C là hình bình hành. Chứng minh rằng H' nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra quĩ tích của điểm H.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho ba đường tròn bằng nhau (I₁;R), (I₂;R), (I₃; R) từng đôi tiếp xúc nhau tại A, B, C. Giả sử M là một điểm trên (I₁;R), ngoài ra: 

Bài 2. Cho hai điểm A và B và gọi Đ_A và Đ_B lần lượt là hai phép đối xứng tâm A và B

 b. Xác định Đ_A.Đ_B.

Bài 3. Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì (H) có tâm đối xứng.

Bài 4. Cho DABC là tam giác vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Vẽ phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG

a . Chứng minh tập hợp 6 điểm {B, C, F, G, E, D} có một trục đối xứng.

b. Gọi K là trung điểm của EG. Chứng minh K ở trên đường thẳng AH.

c. Gọi P = DEÇFG. Chứng minh P ở trên đường thẳng AH

d. Chứng minh: CD^BP, BF^CP

e. Chứng minh: AH, CD, BF đồng qui.

BÀI . PHÉP QUAY

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:  
Cho điểm O và gốc lượng giác a, phép biến hình biến O ® chính nó, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho: OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) = a được gọi là phép quay tâm O góc a
O: tâm           a: góc quay             ký hiệu: Q_(O; a)­.
Nếu a = (2k+1)p , k Î Z; phép đối xứng tâm
Nếu a = 2kp , k Î Z; phép đồng nhất.
2. Tính chất:
Phép quay là 1 phép dời hình ® có đầy đủ tính chất của phép dời hình.
Ngoài ra; d’ = Q_(O; a) (d), khi đó:
0 <a £p/2 : góc giữa d và d’ bằng a
p/2 <a <p: góc giữa d và d’ bằng (p - a)
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
VĐ 1: Tìm ảnh qua 1 phép quay.
 Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. M; N là trung điểm AB, OA. Tìm ảnh của DAMN qua phép quay tâm O, 90⁰.
 Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, A(3; 4). Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép tâm O góc 90⁰.
 Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(x; y) tìm ảnh M’ qua phép quay tâm O góc a. 


III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho phép quay . Tìm ảnh của :

a. Điểm M(2;2) 

 

b. Đường tròn (C): (x – 1)² + y² = 4

Đáp án

 

 

 

Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (D): 2x – y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng qua:

 

a . Phép đối xứng tâm I (1; -2)

 

b. Phép quay 

 

Đáp án

 

a . (D’): 2x – y – 9 = 0

 

b. (D’): x + 2y + 1 = 0.

 

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(4; 1). 

 

 Đáp án: N(1; -4) hay N(-1; 4)

 

 

 

 

Bài 7. Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho DOMN đều

 

Bài 8. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối tâm các hình vuông dựng trên các cạnh của một hình bình hành về phía ngoài, hợp thành một hình vuông.

Đáp án