Gia sư toán 11 tại Vinh - Hai đường thảng vuông góc

Gia sư môn Toán

»

Gia sư toán 11 tại Vinh - Hai đường thảng vuông góc

BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

I . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

1. Góc giữa hai vecto

Định nghĩa

Trong không gian, cho u và v là hai vecto không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho . Khi đó ta gọi góc BAC là góc giữa hai vecto trong không gian, kí hiệu là

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vecto đều khác vecto- không. Tích vô hướng của hai vecto là một số, ký hiệu là , được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Vectơ khác vectơ-không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

2. Nhận xét
a) Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k. với k ¹ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng hướng.

III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm O nào đó ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa a’ và b’ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa.
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

2. Nhận xét:

a. Nếu lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:

Với lần lượt là vecto chỉ phương của a, b

b. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

BÀI 2 : HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

VĐ 1 : Ứng dụng của tích vô hướng

Phương pháp :

Muốn tính độ dài của đoạn thẳng AB hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm A và B ta dựa vào công thức :

Tính góc giữa hai vectơ

Muốn chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau ta cần tìm các vec tơ chỉ phương của mỗi đường thẳng đó và chứng minh = 0. Trong quá trình tính toán cần chú ý áp dụng các tính chất của tích vô hướng.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của cạnh AC. Hãy tính các tích vô hướng :
.

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và S là một điểm sao cho

Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm O và S theo a.

Bài 3. Trong không gian cho hai vecto tạo với nhau một góc 120⁰. Hãy tìm

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng :

Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi K, L, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, A’B’ và CC’.

a. Chứng minh tam giác KLM là tam giác đều.

b. Chứng minh đường chéo .

Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng a. Hãy tính các tích vô hướng và tính độ dài đường chéo AC₁.

Bài 7. Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

BÀI 2 : HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

VĐ 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp :

Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng.

Dùng định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian.

Xét hai