Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến

Gia sư môn Toán

»

Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ :
            1. Tại một điểm $M_{0}(x_0;y_0)$ trên đồ thị.
            2. Tại điểm có hoành độ $x_0$ trên đồ thị.
            3. Tại điểm có tung độ $y_0$ trên đồ thị.
            4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung $Oy$ .
            5. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành $Ox$ .

*Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến(PTTT) : Của $(C)$ : $y=f(x)$ tại $M_{0}(x_{0};y_{0})$

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ $(1)$

Viết được $(1)$ là phải tìm $x_0$ ; $y_0$ và $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến.

Giải các câu trên lần lượt như sau

Câu 1:

- Tính $y'=f'(x)$ . Rồi tính $f'(x_0)$ .
- Viết PTTT: $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

Câu 2:

- Tính $y'=f'(x)$ . Rồi tính $f'(x_0)$ .
- Tính tung độ $y_0=f(x_0)$ ,(bằng cách) thay $x_0)$ vào biểu thức của hàm số để tính $y_0$ .
- Viết PTTT: $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ .

Câu 3:

- Tính hoành độ $x_0$ bằng cách giải pt $f(x)=y_0$ .

- Tính $y'=f'(x)$ . Rồi tính $f'(x_0)$ .

- Sau khi tìm được $y_0$ và $x_0$ thì viết PTTT tại mỗi điểm $(x_0;y_0)$ tìm được.

Câu 4:

     -     Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ : Cho $x_0=0$ và tính $y_0$ ;
      –     Tính $y'=f'(x)$ . Rồi tính $f'(x_0)=f'(0)$ ;
      -    Viết PTTT:: $y-y_0=f'(0)(x-0)$ .

Câu 5:

     -     Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục $Ox$ : Cho $y_0=0$ và tính $x_0$ ;
      –     Tính $y'=f'(x)$ . Rồi tính $f'(x_0)$ tại các giá trị $x_0$ vừa tìm được;
      –     Viết PTTT:: $y-0=f'(x_0)(x-y_{0})$ .

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ :

a) biết rằng tiếp tuyến song song với đuờng thẳng $y=ax+b$ .

b) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=ax+b$ .

Phương pháp:

Tính $y'$
Giải phương trình $y'=k$ $\Rightarrow$ $x_0$
Tính $y_0$
Thay vào phương trình $y-y_0=k\left({x-x_0}\right)$

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=kx+b$ sẽ có hệ số góc $k$
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=kx+b$ sẽ có hệ số góc $\frac{-1}{k}$

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+1$

biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=3x$

Bài 2: Cho hàm số $y=(2m-1)x^4-(m+\frac{1}{4})x^2-m+\frac{5}{4}$

Tìm $m$ để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=-1$ vuông góc với đường thẳng $y=2x-3$

Bài 3: Cho $(C)$ $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ . Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ biết tiếp tuyến này vuông góc với $5y-3x+4=0$ .

Bài 4: Cho $(C)$ $y=f(x)=2x^3-3x^2-12x-5$

a) Viết phương trình tiếp tuyến cới $(C)$ biết tiếp tuyến này song song với $y=6x-4$

b) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ biết tiếp tuyến này vuông góc với $y=-\frac{1}{3}+2$

c) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ biết tiếp tuyến tạo với $-\frac{1}{2}x+5$ góc $45^0$ .Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị.