Phương pháp đồng bậc để giải hệ phương trình

Gia sư môn Toán

»

Phương pháp đồng bậc để giải hệ phương trình

Ý tưởng của phương pháp đồng bậc đó là ta tạo ra một phương trình mà hai vế của nó là hai đa thức cùng bậc. Sau đây là một số bài tập minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

$\begin{cases} \mbox{$x^3-y^3=4x+2y$}\\ \mbox{$x^2+3y^2=4$}\\ \end{cases}$

Nhận xét: Xét phương trình $x^3-y^3=4x+2y.$ Ta thấy vế trái của nó là một phương trình bậc $3$ còn vế phải là một phương trình bậc $1.$ Để hai vế của phương trình này cùng bậc thì ta phải nhân vào vế phải một phương trình bậc $2.$ Ta thấy $x^2+3y^2$ là một đa thức bậc $2$ và nó bằng $4.$ Do đó ta nhân vế phải của $x^3-y^3=4x+2y$ cho $4$ rồi thay $4=x^2+3y^2.$ Tuy nhiên $4x+2y=2(2x+y)$ đã có $2$ rồi nên ta chỉ cần nhân cho $2$ mà thôi. Với suy nghĩ như thế ta có lời giải như sau:

Lời giải:

Ta có

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$x^3-y^3=4x+2y$}\\ \mbox{$x^2+3y^2=4$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$2(x^3-y^3)=4(2x+y)$}\\ \mbox{$x^2+3y^2=4$}\\ \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Thay $4=x^2+3y^2$ vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;2(x^3-y^3)=(x^2+3y^2)(2x+y)\\ &\Longleftrightarrow 2x^3-2y^3=2x^3+x^2y+6xy^2+3y^3\\ &\Longleftrightarrow 5y^3+x^2y+6xy^2=0\\ &\Longleftrightarrow y(5y^2+x^2+6xy)=0\\ &\Longleftrightarrow y(x+5y)(x+y)=0\\ &\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix} y&=&0\\x&=&-5y\\x&=&-y\end{matrix}}\right\\ \end{aligned} \end{equation*}$

Với $y=0$ , hệ trở thành

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$x^3=4x$}\\ \mbox{$x^2=4$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow x^2=4\\ &\Longleftrightarrow x=\pm 2. \end{aligned} \end{equation*}$

Với $x=-5y$ , hệ trở thành

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$-125y^3-y^3=-20y+2y$}\\ \mbox{$25y^2+3y^2=4$}\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$-126y^3=-18y$}\\ \mbox{$28y^2=4$}\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$7y^3=y$}\\ \mbox{$7y^2=1$}\end{cases}\\ &\Longleftrightarrow 7y^2=1\\ &\Longleftrightarrow y=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{7}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Với $x=-y$ , hệ trở thành

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$-y^3-y^3=-4y+2y$}\\ \mbox{$y^2+3y^2=4$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$-2y^3=-2y$}\\ \mbox{$4y^2=4$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$y^3=y$}\\ \mbox{$y^2=1$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow y^2=1\\ &\Longleftrightarrow y=\pm 1. \end{aligned} \end{equation*}$

Vậy tập nghiệm của hệ là

$S=\Big\{(2; 0); (-2; 0); \Big(-\displaystyle\frac{5}{\sqrt{7}}; \displaystyle\frac{1}{\sqrt{7}}\Big); \Big(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{7}}; -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{7}}\Big); (-1; 1); (1; -1)\Big\}.$

Bài 2: Giải hệ phương trình

$\begin{cases} \mbox{$x^3+y^3-xy^2=1$}\\ \mbox{$4x^4+y^4=4x+y$}\\ \end{cases}$

Đáp số: Tập nghiệm của hệ là

$S=\Big\{(0; 1); (1; 0); (1; 1); \Big(\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{25}}; \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{25}}\Big)\Big\}.$

Hướng dẫn:

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$x^3+y^3-xy^2=1$}\\ \mbox{$4x^4+y^4=4x+y$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$x^3+y^3-xy^2=1$}\\ \mbox{$4x^4+y^4=(4x+y)(x^3+y^3-xy^2)$}\\ \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Ta có

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;4x^4+y^4=(4x+y)(x^3+y^3-xy^2)\\ &\Longleftrightarrow xy(3y^2-4xy+x^2)=0\\ &\Longleftrightarrow xy(x-y)(x-3y)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

Bài 3: Giải hệ phương trình

$\begin{cases} \mbox{$x^2+1=2y^2$}\\ \mbox{$2x^3+x=y^3+2y$}\\ \end{cases}$

Đáp số: Tập nghiệm của hệ là

$S=\{(1; 1); (-1; -1)\}.$

Hướng dẫn:

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$x^2+1=2y^2$}\\ \mbox{$2x^3+x=y^3+2y$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$2y^2-x^2=1$}\\ \mbox{$2x^3-y^3=2y-x$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$2y^2-x^2=1$}\\ \mbox{$2x^3-y^3=(2y-x)(2y^2-x^2)$}\\ \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Ta có

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;2x^3-y^3=(2y-x)(2y^2-x^2)\\ &\Longleftrightarrow (x-y)(x^2+3xy+5y^2)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

Xét phương trình

$x^2+3xy+5y^2=0.$

Nếu $y=0$ thì $x=0$ . Ta thấy $x=0, y=0$ không là nghiệm của hệ.

Với $y\neq 0$ , đặt $t=\displaystyle\frac{x}{y}$ , ta được phương trình

$t^2+3t+5=0.$

Ta thấy phương trình này vô nghiệm.

Bài 4: Giải hệ phương trình

$\begin{cases} \mbox{$x^2+xy+y^2=3$}\\ \mbox{$\displaystyle\frac{x^5+y^5}{x^3+y^3}=\displaystyle\frac{31}{7}$}\\ \end{cases}$

Đáp số: Tập nghiệm của hệ là

$S=\{(1; -2); (-1; 2); (2; -1); (-2; 1)\}.$

Hướng dẫn: Điều kiện $x\neq -y.$

Ta có

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;7(x^5+y^5)=31(x^3+y^3)\\ &\Longrightarrow 21(x^5+y^5)=31(x^3+y^3)(x^2+xy+y^2)\\ &\Longleftrightarrow 10x^5+31x^4y+31x^3y^2+31x^2y^3+31xy^4+10y^5=0. \end{aligned} \end{equation*}$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. Chia hai vế của phương trình với $y^5$ và đặt $t=\displaystyle\frac{x}{y}$ , ta được

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;10t^5+31t^4+31t^3+31t^2+31t+10=0\\ &\Longleftrightarrow (t+1)(10t^4+21t^3+10t^2+21t+10)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

Với $t=-1$ thì $x=-y$ (loại).
Xét phương trình

$10t^4+21t^3+10t^2+21t+10=0.$

Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình, chia hai vế phương trình cho $t^2$ và đặt $u=t+\displaystyle\frac{1}{t}$ , ta được phương trình

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;10u^2+21u-10=0\\ &\Longleftrightarrow (2u+5)(5u-2)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

Với $u=\displaystyle\frac{2}{5}$ thì phương trình $t+\displaystyle\frac{1}{t}=\displaystyle\frac{2}{5}$ vô nghiệm.
Với $u=-\displaystyle\frac{5}{2}$ thì phương trình $t+\displaystyle\frac{1}{t}=-\displaystyle\frac{5}{2}$ có hai nghiệm $t=-2$ ; $t=-\displaystyle\frac{1}{2}.$

Bài 5: Giải hệ phương trình

$\begin{cases} \mbox{$x^5+y^5=1$}\\ \mbox{$x^9+y^9=x^4+y^4$}\\ \end{cases}$

Đáp số: Tập nghiệm của hệ là

$S=\{(0; 1); (1; 0)\}.$

Bài 6: Giải hệ phương trình

$\begin{cases} \mbox{$x^3+4y=y^3+16x$}\\ \mbox{$y^2+1=5(x^2+1)$}\\ \end{cases}$

Đáp số: Tập nghiệm của hệ là

$S=\{(0; 2); (0; -2); (1; -3); (-1; 3)\}.$

Hướng dẫn:

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{cases} \mbox{$x^3+4y=y^3+16x$}\\ \mbox{$y^2+1=5(x^2+1)$}\\ \end{cases}\\ &\Longleftrightarrow\begin{cases} \mbox{$x^3-y^3=4(4x-y)$}\\ \mbox{$y^2-5x^2=4$}\\ \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Thay $4=y^2-5x^2$ vào $x^3-y^3=4(4x-y),$ ta được

$\begin{equation*}\notag \begin{aligned} &\;\;\;\;\;\;\;\;x^3-y^3=(y^2-5x^2)(4x-y)\\ &\Longleftrightarrow 21x^3-5x^2y-4xy^2=0\\ &\Longleftrightarrow x(3x+y)(7x-4y)=0. \end{aligned} \end{equation*}$